Задачи для подготовки к математической олимпиаде.

Задачи для подготовки к математической олимпиаде.

9 класс.

1. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающего после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (4-5х+х²)²⁰¹²(4+5х+х²)²⁰¹³

2. Иван сказал в этом году: «Мне будет п лет, когда пойдет п² год». В каком году родился Иван?

3. Решить уравнение: х²+ху+у²-2х+2у=4=0

4. Дома Вини-Пуха, Пятачка, Кролика и Совы расположены на окружности. Где нужно построить дом ослику Иа, чтобы сумма расстояний от него до остальных была наименьшей?

5. Цены снизились на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на те же деньги?

6. По кругу расположены 9 шестерок так, что первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т.д., девятая с первой. Могут ли эти шестерки вращаться?

7. Известно, что а+в+с=5, ав+ас+вс=5. Чему может равняться а²+в²+с²?

8. Директор школы беседует с 4 учениками школы, подозреваемыми в хищении классного журнала из учительской. Александр сказал, что журнал похитил Борис. Борис утверждал, что виноват Григорий. Григорий заверил директора, что Борис врет. Виктор утверждает, что журнал взял не он.

Директору школы удалось установить, что один из учеников сказал все же правду. Кто похитил журнал?

Ответы к задачам.

1. 0, так как Р(1) = (4-5*1+1²)²⁰¹²*(4+5*1+1²)²⁰¹³ =0

2. Иван родился в 1980 году. Ему будет 45 лет в 2025 году.

3. Умножим на 2 обе части уравнения и сгруппируем. В итоге получим:

(х²+2ху+у²)+(х²-4х+4)+(у²+4у=4)=0,

(х+у)²+(х – 2)²+(у+2)²=0,

х=2; у= -2.

4. В точке пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого являются домики

друзей ослика Иа.

5. На 25%.

6. Нет.

7. Возвести обе части равенства а+в+с=5 в квадрат.

Ответ: 15.

8. Обозначим показания учащихся через «Б», «Г», «не Г», «не В». Одно из утверждений «Г» и не «Г» истинны, поэтому утверждения «Б» и «не В» ложны, т.е журнал похитил не Борис, журнал похитил Виктор.

Использованные ресурсы:

1). Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975.

2). Личный архив.