Числові ряди. РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

Числові ряди
1.	Числові ряди з невід’ємними членами (необхідна ознака збіжності; достатні ознаки збіжності (дві ознаки порівняння, ознака Д’Аламбера, радикальна ознака Коші)).
2.	Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів. Знакопочережний (знакопереміжний) ряд як окремий випадок знакозмінного ряду (ознака Лейбниця).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Воробьёв Н. Н. Теория рядов. - М.: Наука, 1970. - 204 с.

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1986. - В 2-х ч. (ч. 1 - 303 с.; ч. 2 - 415 с. )

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для втузов). - М.: Физматгиз, 1960. - 744 с.

4. Кручкович Г. И. Сборник задач по курсу высшей математики. - М.: Высшая школа, 1973. - 576 с.

5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.

6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, Большая медведица, 2001. - 863 с.; есть издания 1956, 1958, 1959, 1961, 1963, 1966, 1969, 1972, 1977 годов.

Приклад 1. Дослідити числові ряди на збіжність за допомогою найбільш зручних ознак збіжності.

1. 1 = - числовий ряд з додатними членами ряду. Перевіримо виконання необхідної ознаки збіжності числових рядів з невід’ємними членами :

(викон. ).

Для подальшого дослідження ряду на збіжність застосуємо ознаку порівняння у вигляді границі (також її називають 2-га ознака порівняння). Для цього треба підібрати ряд (його називають еталонним; мається на увазі, що його поведінка відома, або легко її з’ясувати), з яким будемо порівнювати заданий ряд. Загальний член ряду має вигляд , тобто степінь чисельника , а знаменника . Тоді новий ряд виберемо у вигляді (гармонічний ряд; відомо, що він є розбіжним). Отже,

тобто ознака порівняння у вигляді границі виконана (границя відношення загальних членів рядів дорівнює сталій, не рівній нулю або нескінченності). Отже, ряди ведуть себе однаково: оскільки ряд розбіжний, то згідно із ознакою порівняння у вигляді границі досліджуваний ряд також розбіжний.

Зауваження: відомо, що узагальнений гармонічний ряд збіжний, якщо > 1, розбіжний, якщо . Коли =1, то ряд називають гармонічним.

1. 2 = - числовий ряд з додатними членами ряду. Інколи перевірку виконання необхідної ознаки не роблять. Для дослідження ряду на збіжність застосуємо ознаку Д’Аламбера (пишуть також Даламбера). Загальний член ряду має вигляд . Тоді наступним членом ряду буде . За ознакою Д’Аламбера

< 1, тобто ряд буде збіжним.

1. 3 . Для дослідження ряду на збіжність застосуємо радикальну ознаку Коші. Загальний член ряду має вигляд . Тоді

, тобто < 1. Таким чином, заданий ряд буде збіжним.

1. 4 . Перевіримо виконання необхідної ознаки збіжності числових рядів з невід’ємними членами:

(не виконано), тобто ряд буде розбіжним.

1. 5 . Для дослідження ряду на збіжність застосуємо радикальну ознаку Коші:

= < 1. Ознака виконана. Отже, ряд буде збіжним.

1. 6 . Застосуємо 1-шу ознаку порівняння: порівняємо заданий ряд з рядом (цей ряд розбіжний як гармонічний). З’ясуємо, для яких значень має місце нерівність < :

< 0, 50 < 3, 00 (так),

……………………………………. ………..

< 0, 1700 < 0, 1738 (так),

> 0, 1429 > 0, 1357,

…………………………. ……………………

> 0, 0196 > 0, 0165,

………………………………………………

> 0, 01075 > 0, 01074,

< 0, 0106 < 0, 0107 (так),

……………………………………….. ……………...

< 0, 0099 < 0, 0102 (так),

……………………………….. ……………………..

Отже, нерівність < виконується, починаючи з і далі ( ).

Тоді згідно із 1-ою ознакою порівняння числових рядів з невід’ємними членами маємо: якщо ряд з меншими членами розбіжний, то розбіжним буде ряд з більшими членами, тобто, оскільки ряд розбіжний, то і ряд також буде розбіжним.

Приклад 2. Дослідити знакозмінні ряди на збіжність.

2. 1 ... Отриманий ряд є числовим знакопочережним рядом (або кажуть знакопереміжним; російською мовою - знакочередующимся). Розглянемо для нього відповідний ряд із модулів: . Цей ряд розбіжний як гармонічний. Тоді про поведінку знакопочережного ряду нічого сказати не можна (потрібне додаткове дослідження). Скористаємось ознакою Лейбниця:

а) (1-ша умова ознаки Лейбниця виконана);

б) довести, що > , тобто > ; треба вказати номер, починаючи з якого виконується нерівність. Відомо, що із двох дробів з однаковими чисельниками той більший, у якого знаменник менший. Тому ця нерівність має місце для будь-яких натуральних значень (2-га умова ознаки Лейбниця виконана).

Отже, знакопочережний ряд збіжний за ознакою Лейбниця.

А оскільки відповідний йому ряд із модулів розбіжний, то сам ряд буде збіжним умовно.

2. 2 ... Цей ряд є числовим знакопочережним рядом. Запишемо відповідний йому ряд із модулів: - числовий ряд з додатними членами. Перевіримо для цього ряду виконання необхідної ознаки збіжності числових рядів з невід’ємними членами : (не виконано). Отже, ряд є розбіжним, тому про поведінку заданного знакопочережного ряду нічого сказати не можна (потрібне додаткове дослідження). Скористаємось ознакою Лейбниця: оскільки (1-ша умова ознаки Лейбниця не виконана; перевіряти виконання 2-ої умови не має сенсу), то ряд є розбіжним.

2. 3 - числовий знакопочережний ряд. Відповідний ряд із модулів: - числовий ряд з додатними членами. Застосуємо радикальну ознаку Коші: =

= < 1. Таким чином, ряд буде збіжним. Тоді заданий знакопочережний ряд буде збіжним абсолютно.