Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Другое решение.

С1

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.

а)Так как , , то .

Корни уравнения: ,

б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис. ). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: , и .

Ответ: а) , ,

б) .

Другие решения пункта б).

б) Корни, принадлежащие промежутку , отберем по графику . Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке , абсцисса которой принадлежит промежутку .

Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат (см. рис. ). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно,

и .

В промежутке содержатся три корня: .

б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .

Пусть . Подставляя , получаем: . Промежутку принадлежат только .

Промежутку принадлежат корни: .

б) Отберем корни, принадлежащие промежутку .

Пусть Тогда . Корень, принадлежащий промежутку : .

Пусть .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

Пусть .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

Промежутку принадлежат корни: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)
Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

С2

Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

Решение.

Обозначим середину ребра (см. рисунок). Так как треугольник равносторонний, а треугольник – равнобедренный, отрезки и перпендикулярны . Следовательно, – линейный угол двугранного угла с гранями и .

Из треугольника найдём: .

Из треугольника найдём:

Искомый угол равен .

Ответ: .

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) ;

Б) рад.

В) и т. п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

С3

Решите систему неравенств

Решение.

1. Неравенство запишем в виде . Относительно неравенство имеет вид: , откуда получаем: , .

Значит, , .

2. Второе неравенство системы определено при
то есть при и .

При допустимых значениях переменной получаем: , , , , .

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: .

3. Сравним и . Так как , то

, следовательно, .

Решение системы неравенств: .

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: и , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что , то такое решение оценивается в 2 балла.

С4

На стороне BA угла , равного , взята такая точка D, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Решение.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и находим, что PE = .

Так как OA = R и , получаем: , следовательно, .

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором , находим:

В результате получаем уравнение:

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R² – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R₁ = 1, R₂ = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.

Другое решение.

Пусть точка касания окружности с прямой лежит на луче (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

откуда .

Пусть – точка пересечения луча и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника находим:

, тогда и .

Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке , а окружность вторично – в точке . Тогда

Если – радиус окружности, то . По теореме о двух секущих , то есть , откуда находим, что .

Ответ: 1 или 7.

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

С5

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Решение.

1. Функция имеет вид:

a) при : , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии ;

б) при : , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции показаны на рисунках:

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 2

Рис. 4

2. Наименьшее значение функция может принять только в точках или , а если – то в точке .

3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

С6

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в_оценка) Подставим в правую часть равенства : , откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 17.

в_пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число и два раза написан 0. Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Содержание критерия	Баллы
Верно выполнены: а), б), в_пример), в_оценка)
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в_пример), в_оценка)
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в_пример), в_оценка)
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в_пример), в_оценка)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл