ТЕМА 6. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Признак Х, а варианты х₁, х₂, …, х_n.
Частоты m₁, m₂, …, m_k, где k – число групп.

Ряд распределения частот

Значения признака (x_i)	x₁	x₂	…	x_k
Частоты (m_i)	m₁	m₂	…	m_k

Относительные частоты (частости) .
.

Ряд распределения частостей

Значения признака (x_i)	x₁	x₂	…	x_k
Частости (w_i)	w₁	w₂	…	w_k

Общий вид интервального вариационного ряда частот

Интервалы	а₁ - а₂	а₂ - а₃	…	а_k – а_k+1
Частоты (m_i)	m₁	m₂	…	m_k

Интервальная разность: k_i = x_i₍_max) - x_i₍_min).

10. Например, первый интервал может быть задан как " до 100", второй - " 100-110", …, предпоследний - " 190-200", последний - " 200 и более". Величина второго интервала равна 110-100=10, следовательно, нижняя граница первого интервала условно составит 100-10=90; величина предпоследнего интервала равна 200-190=10, следовательно, верхняя граница последнего интервала условно составит 200+10=210.

11. Формула Стэрджесса: ,

где n - число единиц совокупности,

x_(max) и x_(min)- наибольшее и наименьшее значения вариантов ряда.

12. Накопленные частоты ( )показывают сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим или равным определенного данного значения х.

13. Накопленная частость ( ) – это отношение накопленной частоты к числу единиц совокупности n.

14. Пример нахождения накопленных частот дискретного вариационного ряда частот, характеризующего количественный состав 10 семей:

x_i	m_i	Накопленные частоты
x_i	m_i	в восходящем порядке	в нисходящем порядке



Итого		-	-

15.

x_k

x₂

x₁ x_i

16. Абсолютная плотность: ;

где: f(a)_i - абсолютная плотность i-го интервала; m_i - частота i-го интервала; k_i - величина i-го интервала (интервальная разность).

17. Относительная плотность: ;

где f(о)_i - относительная плотность i-го интервала; w_i - частость i-го интервала.

18.

a₂

a₁ x_i

19. Средняя арифметическая простая ;

где x_i - i-е значение признака; n - объем ряда (число наблюдений; число значений признака).

20. Средняя арифметическая взвешенная: ;

где x_i - i-е значение признака; m_i - частота i-го значения признака; k - число значений признака (вариантов).

21.

где x_i - i-е значение признака; w_i - частость i-го значения признака; k - число значений признака (вариантов).

22. Свойства средней арифметической:

23. Размах вариации: R = x_max-x_min

24. Среднее линейное отклонение

- простое

- взвешенное

24. Дисперсия

       - простая

       - взвешенная

25. Свойства дисперсии:

1) , с - const

2)

3)

26. Упрощенная формула расчета дисперсии:

27. Среднее квадратическое отклонение(σ )

28. Коэффициент вариации

       29. Мода

       ,

где - нижняя граница модального интервала;

h _Mo – величина модального интервала;

m _Mo - частота модального интервала;

m _Mo-1 - частота интервала предшествующего модальному;

m _Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

       30. Медиана



где - нижняя граница медианного интервала;

h _Mе – величина медианного интервала;

- половина суммы всех частот;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

m _Mе- частота медианного интервала.

31. Позиция Р-го перцентиля определяется как (n+1)P/100, где n – число вариантов ряда.

32. Моментом k - ого порядка называется средняя из k- x величин.

33. Начальные моменты



34. При подстановке разных целых значений k (0, 1, 2 и т. д. ) получаем начальные моменты различных порядков:

k Порядок момента Формула момента

нулевой

первый

второй

третий

четвертый

35. Центральные моменты

36. При подстановке значений k от 0 до 4 получаем центральные моменты различных порядков:

k Порядок момента Формула момента

нулевой

первый , в силу свойства 3 средней арифметической

второй

третий

четвертый

37. Коэффициент асимметрии

38. Коэффициент эксцесса (куртозиса)