Решение.. Второй способ.

Решение.

1) Объем пирамиды вычислим по формуле , где h – высота пирамиды. По условию FA^АВС. Значит, FA^ВС. Но AB ^ BC, следовательно, ВС^ABF и поэтому AM^BC. Значит, АМ – высота пирамиды , опущенная на плоскость грани CLM, т. е. . Из прямоугольного треугольника ABF: .

2) Треугольники CLM и CFM имеют общую высоту, проведенную из
вершины М. Поэтому . Аналогично, . Следовательно, . Отсюда .

3) Отрезки CF и CL, BF и FM найдем соответственно из прямоугольных треугольников ACF и ABF. Имеем , , , .

4) Поскольку ВС^ABF, то ВС^BF. Поэтому площадь треугольника CFB найдем по формуле .

Вычислим площадь основания пирамиды AMLC:

.
Искомый объем .

Ответ: .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания C4
	Приведена верная последовательность шагов решения: 1) вычислена высота пирамиды; 2) выражена через ; 3) вычислены отрезки CF, CL, BF, FM; 4) вычислен искомый объем пирамиды . Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) перпендикулярность отрезка АМ плоскости BCF; б) способ вычисления площади основания пирамиды . Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
	Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях[1], но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.
	Приведены шаги решения 2) – 4). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
	Ход решения правильный, но решение не завершено. На чертеже явно обозначено (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 90⁰) или описано словами, что АМ высота пирамиды, и вычислена ее длина. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.
	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Второй способ.

1) Объем пирамиды вычислим по формуле , где - расстояние от вершины M до плоскости . Так как и , то

и .

Следовательно,

и .

2) Проведем высоту прямоугольного треугольника ABC, . Так как , то . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Поэтому - расстояние от вершины до плоскости .

3)Итак, . Перпендикуляры BK и MP, опущенные на плоскость из точек и , параллельны между собой и лежат в плоскости, содержащей прямую . Поэтому треугольники FBK и FMP подобны. Отсюда . Поэтому .

4) Из прямоугольного треугольника : и . Из прямоугольного треугольника FAM: . Следовательно, и .

Ответ: .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания C4
	Приведена верная последовательность шагов решения: 1) вычислена площадь основания АLС пирамиды ; 2) построена высота пирамиды; 3) вычислена и найдено соотношение между высотами и ; 4) вычислен искомый объем пирамиды. Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) в шаге 2) при построении имеется ссылка на признак перпендикулярности прямой и плоскости; б) в шаге 3) обосновано подобие треугольников. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
	Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях[2], но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.
	Приведены шаги решения 1), 3), 4). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.
	Ход решения правильный, но решение не завершено. Имеется шаг 3) решения, вычислена . Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.
	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.