Решение.. Замечание.

Решение.

1) В основании подставки лежит квадрат. Пусть – длина его стороны, а – высота подставки. Тогда ее объем равен и , т. е. .

2) Сварить надо 3 ребра верхнего основания и 2 ребра грани, параллельной стене. Значит, общая длина сварки равна , т. е.

, .

3) Найдем производную . Поэтому ,

т. е. функция при имеет единственную критическую точку .

4) Если , то и . Если , то и . Значит, является точкой минимума и . Тогда высота подставки равна .

Ответ: 12 дм, 12 дм и 9 дм.

Замечание.

Возможно, но маловероятно решение без производных. Для этого используем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех неотрицательных чисел.

При этом равенство достигается, только если все три слагаемых равны между собой, т. е.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С3
	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) определение формы подставки, выражение ее высоты через длину стороны основания; 2) выражение общей длины сварки через длину стороны основания; 3) вычисление производной и нахождение критической точки функции длины сварки; 4) проверка того, что найденная критическая точка является точкой минимума. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 2) перечислены ребра, которые надо сваривать; б) в шаге 3) явно указано, что имеется единственная критическая точка; в) в шаге 4) изменение знаков производной обосновано или неравенствами, или подстановкой значений, или ссылкой на характер монотонности кубической функции. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
	Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 1) допустимо наличие лишь формулы , в шаге 2) допустимо наличие только равенства . Обоснованы ключевые моменты б) и в). Допустима 1 описка, и/или негрубая вычислительная ошибка в шагах 3), 4), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. Возможен неверный ответ (например, указано верное наименьшее значение длины сварки, а не размеров подставки).
	Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) – 3). Обоснован ключевой момент б). Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ.
	Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнены шаги 1) и 2), т. е. текстовая задача верно сведена к своей математической модели – исследованию функции. Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Обоснования ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.
	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором , АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFB и AFC. Найдите объем пирамиды .