Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Практическая работа № 5



 

 

Решение оптимизационных задач АСОИиУ с использованием универсальных математических систем в виде пакетов MATLAB, Maple, Mathematica, Mathcad и других

 

Цель работы. Получить практические навыки в постановке и решении оптимизационных задач АСОИиУ с помощью универсальных математических систем в виде пакетов MATLAB, Maple, Mathematica, Mathcad и других.

 

 

Общие сведения

 

В настоящее время аналитические методы решения большинства оптимизационных задач, возникающих на производстве (транспортные задачи, задачи распределения оборудования, задачи упорядочения и т. д. ) уступают дорогу компьютерному анализу и в будущем они будут все чаще заменяться интерактивными и мощными процедурами машинного решения и анализа с помощью универсальных математических систем в виде пакетов MATLAB, Maple, Mathematica, Mathcad и других.

Важным достоинством таких систем является то, что для их применения не требуется специальных знаний о программировании. Пользователь должен уметь формулировать задачу и обращаться к пакету, подготавливать исходные данные и анализировать выходные результаты.

Рассмотрим решение задачи о рациональном использовании ресурсов с применением пакета Mathcad. Рыболовное судно располагает четырьмя видами сырья (рыба, масло, специи, томат) в количестве . Предполагается выпуск консервов трех видов. На производство одной партии каждого  - го вида консервов затрачивается  сырья  вида. Доход от выпуска одной партии консервов каждого вида составляет  руб. Одновременно на судне может храниться не более  продукции каждого вида. Определить такой план выпуска продукции, чтобы доход от ее реализации был максимальным.

Рассматриваемая задача является оптимизационной, так как результат ее решения должен быть наилучшим среди множества допустимых. Сформулируем математическую модель задачи. Обозначим искомые количества партий продукции каждого вида . Тогда цель решения задачи – получение максимального дохода – может быть записана математически в виде целевой функции:

 

 

Где   - доход от выпуска всей продукии  - го вида.

Ограничения, накладываемые на решение, вызваны ограниченностью запасов сырья и возможностями хранения готовой продукции на судне. Количество сырья каждого вида, требуемое для производства всей продукции, не может превысить имеющихся на судне запасов этого сырья. Математически это записывается в виде

 

,

 

 

Возможность хранения не более продукции каждого вида выражается отношением

                                  

,

 

Подставив в целевую функцию значения и записав ограничения для каждого вида сырья, мы получаем математическую модель решаемой задачи. Для 0 – варианта она представляется так:

 

 

 

Дальнейшие расчеты производим в среде Mathcad.

 

Вводим исходные данные задачи в матричной форме.

ORIGIN: =1

 

 

 

Вводим линейную целевую функцию.

 

 

Зададим начальные значения переменным задачи.

Вводим ограничения задачи в матричной форме.

 

Given

 

Определяем оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

 

 

В итоге получаем:

 

 

 

 

Таким образом, максимальный доход от выпуска продукции в заданных условиях может составить 5664, 3 руб. для этого необходимо выпустить 19. 3 партии консервов 2-го вида, 98. 2 партии консервов 3-го вида. Продукцию 1-го вида выпускать не следует.

Рассмотрим пример решения транспортной задачи в среде MathCad.

На складах A1, A2, A3 хранится a1=100, a2=200, a3=120 единиц одного того же груза соответственно. Требуется доставить его трем потребителям B1, B2, B3, заказы которых составляют b1=200, b2=110, b3=80 единиц груза. Стоимость перевозки Ci, j единицы груза с i – склада j – ому потребителю указаны в транспортной таблице:

 

  b1=200 b2=110 b3=80
a1=100
a2=200
a3=120

 

Найти минимальную стоимость перевозок.

Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения b1, b2, b3, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения b4, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками. А стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения b4 будем считать равным нулю. Введением фиктивного пункта назначения с его заявкой мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь его можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом (количество перевезенного груза обозначим символами x1…. xn соответственно)

 

  b1 = 200 b2 = 110 b3 = 80 b4 = 30
a1 = 100 4   x1 2   x2 6   x3 0   x4
a2 = 200 7   x5 5   x6 3   x7 0   x8
a3 = 120 1   x9 7   x10 6   x11 0   x12

 

Дальнейшие расчеты производим в среде MathCad.

 

Задаем начальные значения X.

 


Задаем общую стоимость перевозок:

 

 


Задаем условия:

 


Используя встроенную функцию Mimimize, находим значения x1…x12 при которых F(x) будет минимальным.


Находим минимальную стоимость перевозки:


Результаты заносим в транспортную таблицу:

 

  b1=200 b2=110 b3=80
a1=100 4        2  x2 =100
a2=200 7   x5 = 80 5  x6 = 10 3   x7 = 80
a3=120 1   x9 =120

 

Минимальная стоимость перевозок: F = 1170.

 

Варианты заданий

 

Линейное программирование

 

 

Транспортная задача

 

Вариант 1 b1=300 b2=410 b3=80
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 2 b1=210 b2=180 b3=180
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 3 b1=187 b2=112 B3=100
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 4 b1=214 b2=114 b3=380
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 5 b1=250 b2=110 b3=80
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 6 b1=209 b2=190 b3=120
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 7 b1=210 b2=210 b3=90
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 8 b1=130 b2=140 b3=180
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 9 b1=300 b2=210 b3=80
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 10 b1=230 b2=120 b3=112
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 11 b1=280 b2=150 B3=180
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 12 b1=302 b2=167 B3=140
a1=100
a2=200
a3=120

 

Вариант 13 b1=190 b2=119 b3=214
a1=100
a2=200
a3=120

 

 

Порядок выполнения работы

 

  1. Получить вариант задания у преподавателя.
  2. Построить математическую модель задачи о рациональном использовании ресурсов.
  3. Построить математическую модель транспортной задачи.
  4. Выполнить необходимые расчеты с использованием любого из пакетов MATLAB, Maple, Mathematica, Mathcad и других.
  5. Подготовить отчет по работе.

 

Содержание отчета

 

  1. Название и цель работы.
  2. Номер варианта.
  3. Словесное описание задачи о рациональном использовании ресурсов с подстановкой числовых данных, соответствующих выполняемому варианту.
  4. Математическая модель решаемой задачи о рациональном использовании ресурсов.
  5. Словесное описание транспортной задачи с подстановкой числовых данных, соответствующих выполняемому варианту.
  6. Математическая модель решаемой транспортной задачи.
  7. Протокол машинного решения задачи о рациональном использовании ресурсов.
  8. Протокол машинного решения транспортной задачи.
  9. Выводы

 

 

Контрольные вопросы

 

  1. Что означает сформулировать задачу линейного программирования?
  2. Геометрическое представление и решение задачи линейного программирования.
  3. Перечислите широко известные оптимизационные задачи, возникающие на производстве.
  4. Перечислите известные вам методы решения транспортной задачи.
  5. Является ли транспортная задача частным типом задачи линейного программирования, обоснуйте ваш ответ.
  6. В чем заключается универсальность пакетов MATLAB, Maple, Mathematica, Mathcad и других?
  7. Какие преимущества имеет применение универсальных пакетов MATLAB, Maple, Mathematica, Mathcad и других при решении оптимизационных задач АСОИиУ в отличии от использования аналитических методов?


  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.