Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений 4 страница

Несобственный интеграл сходится (имеет конечное значение), следовательно, ряд сходится.

Задача 15. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение.

По следствию из теоремы Лейбница, остаток ряда, начинающийся с третьего слагаемого, не превосходит числа e = 0, 005 и, следовательно, сумма первых двух слагаемых отличается от суммы ряда не более чем на 0, 005. Таким образом,

6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 17. Имеется 6 одинаковых шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наудачу раскладываем эти шары в 3 коробки по 2 шара. Найти вероятность того, что в каждой коробке окажется один нечётный шар и один чётный.

Решение. Опыт состоит в том, что 6 шаров наудачу раскладываем по 2 шара в 3 коробки. Все исходы опыта равновозможны и их число n конечно. Следовательно, можем применить классическую формулу вероятности , где А – событие, состоящее в том, что в каждой коробке окажется один нечётный шар и один чётный, а m – число всех исходов, благоприятствующих событию А.

Найдём n – число всех исходов опыта. Выбрать 2 шара из 6-ти в I-ю коробку можно способами. Из оставшихся 4 шаров выбрать 2 шара во II-ю коробку можно способами. Оставшиеся после этого 2 шара попадут в III-ю коробку ( ). Число всех исходов опыта равно . По формуле вычислим

Найдём m – число исходов, благоприятствующих событию А. Выбрать нечётный шар в I-ю коробку можно способами, чётный – способами. Следовательно, число всех благоприятствующих пар шаров для I-й коробки равно Обозначим сказанное схематично:

Аналогично найдём число благоприятствующих пар шаров для II-й коробки из оставшихся 4 шаров:

Для III-й коробки

Тогда , .

Искомая вероятность равна 0, 4.

Задача 18. Три студента сдают экзамен. Для них приготовлены три билета: №1, №2, №3. Первый студент наудачу возьмёт любой билет, второй выберет наудачу один из двух оставшихся, третий заберёт оставшийся. Для каждого из студентов найти вероятность извлечь билет №1.

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ – события, состоящие в том, что соответственно 1-й, 2-й и 3-й студент извлечёт билет №1. Требуется найти .

Очевидно, что Найдём . Первый студент взял один билет. Второму осталось два билета. Обозначим гипотезы:

Н₁ – билет №1 уже извлечён; Н₂ – билет №1 ещё не извлечён.

Н₁, Н₂ – полная группа событий ( сумма этих событий – достоверное событие и они не могут произойти одновременно). Следовательно, по формуле полной вероятности

Очевидно, что так как гипотеза Н₂ означает что 1-й студент не взял билет №1. Итак,

Найдём Р(А₃). .

Уже вычислено . Условная вероятность – это вероятность того, что 2-й студент не взял билет №1 при условии, что 1-й студент не взял билет №1, то есть вероятность не взять билет №1 из двух билетов, среди которых есть этот №1. Получаем . В результате .

Все искомые вероятности найдены:

Задача 19. MN – средняя линия треугольника АВС, MN P АВ. На треугольник АВС наудачу поставлены три точки. Случайная величина Х равна числу точек, попавших на треугольник MBN. Построить ряд распределения этой случайной величины.

Решение. Случайная величина Х может принимать значения х₁ = 0, х₂ = 1,

х₃ = 2, х₄ = 3. Найдем вероятность появления каждого из этих значений.

Так как MN – средняя линия D АВС, то .

Вероятность того, что точка, наудачу поставленная на

D АВС, попадёт на D MВN равна

Это испытание (наудачу ставим точку на D АВС) повторяем 3 раза. Вероятность того, что в n = 3 испытаниях событие (попадание точки на D MВN ) произойдёт ровно k раз вычислим по формуле Бернулли:

х_k	0	1	2	3
p_k

Построим искомый ряд распределения .

Задача 20. Задан ряд распределения дискретной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и вероятность P(a < X < b).

х_k	–5	–2	4	7
p_k	0, 4	С	0, 35	0, 1

a = – 3, b = 6.

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице. Следовательно, 0, 4 + С + 0, 35 + 0, 1 = 1, С = 0, 15.

Таким образом найдены

Задача 21. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и вероятность P(a < X < b).

Решение. Плотность распределения непрерывной случайной величины удовлетворяет условию

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Общие рекомендации студентам по работе над контрольной работой 3

Вопросы к экзамену по курсу “Высшая математика” 4

Литература 9

Задания для контрольных работ 9

Методические указания к решению типовых задач 23

Тема 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 23

Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисления 27

Тема 3. Функции нескольких переменных 34

Тема 4. Дифференциальные уравнения 35

Тема 5. Ряды 37

Тема 6. Теория вероятностей 40