|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений 3 страницае) Расстояние от точки до прямой вычисляем по формуле:
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Задача 3. Найти указанные пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Решение. а) ; б) ; в) ; г) ; д) Здесь используем 2-й замечательный предел . Получим Задача 4. Продифференцировать функции: а) ; б) ; в) ; г) . в) Прологарифмируем данную функцию: . Тогда . Выразим ; г) Продифференцируем, имеем равенство: Выразим Задача 5. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке . Решение. Функция определена на этом отрезке. Найдем критические точки: . Если , то . Найденная точка принадлежит отрезку . существует для всех , т. к. для всех . Найдем значения функции при и : . Следовательно, наименьшего значения данная функция достигает в точке : , а наибольшего – в точке . Задача 6. Исследовать функцию и построить её график. Решение. Общая схема построения графика функции: 1) находим область определения функции; 2) исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность; 3) исследуем функцию на монотонность и экстремум; 4) находим промежутки выпуклости и точки перегиба; 5) отыскиваем асимптоты графика функции; 6) для уточнения хода графика функции находим точки пересечения его с осями координат; 7) строим график функции. В нашем случае имеем: 1. Областью определения функции является множество . 2. Функция нечетная, т. к. область ее определения симметрична относительно начала координат и выполнено условие . Функция непериодическая. 3. Находим . Видим, что для всех и не существует, если . Эти точки разбивают область определения функции на промежутки . Исследуем знак производной на этих промежутках. Результаты заносим в таблицу
Из таблицы видно, что функция всюду возрастает на и точки локального минимума и максимума не имеет. 4. Находим
. Точками возможного перегиба являются точки . Они разбивают область определения функции на промежутки . Исследуем знак на этих промежутках. Результаты исследования заносим в таблицу
5. Вертикальными асимптотами являются и , причем , , , . Ищем наклонную асимптоту . Так как , , то – горизонтальная асимптота. 6. Находим точки пересечения графика с осями координат. Это точка . 7. Строим график функции
Задача 7. Найти следующие интегралы. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . Результат интеграла а) проверить дифференцированием. Решение. а) . Произведем замену переменной . Дифференцируем это равенство или , тогда Проверка: ; б) . Воспользуемся формулой интегрирования по частям: . Положим , . Тогда , . . Отдельно вычислим . Разделим на по правилу деления Тогда . . Исходный интеграл равен в) . Разложим правильную рациональную дробь (степень числителя «2» меньше степени знаменателя «3») на сумму простейших дробей: Приравниваем числители первой и последней дробей Сгруппируем члены с одинаковыми степенями: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:
Þ Þ ; г) . Выделим полный квадрат в выражении, стоящем под корнем и сделаем замену переменной . Тогда ; д) . Под интегралом стоит иррациональная функция. Приведем ее к рациональной с помощью подстановки , где - наименьшее общее кратное показателей корней. Тогда , . . Разделим “уголком” числитель на знаменатель . Получим . е) . Интегралы вида , где – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В результате имеем . .
Задача 8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции . Сделать схематический чертеж. Решение. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми и осью , вычисляется по формуле . Построим фигуру.
3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Задача 9. Проверить, удовлетворяет ли уравнению функция . Решение. Находим частные производные первого и второго порядка: , . Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения: . В правой части имеем: . Сравнивая полученные результаты, видно, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению. Задача 10. Исследовать на экстремум функцию Решение. Находим первые частные производные данной функции: , . Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений: Получили стационарные точки данной функции: . Выясним, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого вначале найдем вторые частные производные данной функции: . Составим определитель . Подставляя в координаты стационарных точек и используя достаточные условия экстремума, имеем: для точки , т. е. экстремума нет, для точки , т. е. экстремума нет, для точки , т. е. экстремума нет, для точки и , т. е. имеем точку локального минимума функции, в которой .
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 11. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (особые решения не рассматривать) . Решение. Заменим . . Это уравнение с разделяющимися переменными. Нужно умножить или разделить обе части уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только , а в другую – только , и затем проинтегрировать обе части. Умножим последнее уравнение на . . Интегрируем . – общий интеграл. Задача 12. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию . Решение. Разделим обе части уравнения на . (*). Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение ищем в виде , тогда . Подставляем и в уравнение (*) , (**) Функцию находим из условия – это уравнение с разделяющимися переменными. . Интегрируем , , . В качестве функции взяли одно частное решение . Подставляем в уравнение (**), получаем , , тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения . Используя начальное условие , найдем : , откуда . Частное решение исходного уравнения будет .
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка . Решение. Уравнение не содержит искомой функции. Введем новую функцию , тогда . Исходное уравнение примет вид: . Это уравнение с разделяющимися переменными . Интегрируем . . – общее решение. 5. РЯДЫ
Задача 14. Исследовать на сходимость заданный числовой ряд с положительными членами, используя достаточные признаки сходимости. Решение. а) Используем признак Даламбера: если члены ряда положительны и , то при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится, при L = 1 ряд нужно исследовать другими методами. Записываем общий член ряда . Член получается из заменой номера n на номер n + 1: .
б) Используем радикальный признак Коши: если члены ряда положительны и , то при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится, при L = 1 ряд нужно исследовать другими методами. в) Используем интегральный признак Коши. Пусть члены ряда убывают, функция f (x) непрерывна на [a; +¥ ) и . Тогда если несобственный интеграл сходится, то ряд сходится, если несобственный интеграл расходится, то ряд расходится.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|