Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений 1 страница

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие учебно-методические материалы предназначены для студентов экономических и технологических специальностей заочной формы обучения (срок 4 года). Пособие содержит рекомендации студентам-заочникам по выполнению контрольных работ, список вопросов к экзамену по высшей математике, решение типовых задач с методическими указаниями и контрольные задания для 10-ти вариантов.

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ

ПО РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ

1. В процессе изучения высшей математики студент-заочник должен выполнить контрольные работы по различным её разделам. Контрольная работа рецензируюется преподавателем.

2. Номера заданий для очередной контрольной работы студент получает на установочной сессии (у лектора). Вариант заданий для контрольной работы определяется последней цифрой зачетной студенческой книжки.

3. Перед выполнением контрольной работы необходимо разобрать теоретический материал по изучаемой теме и решить достаточное количество задач.

4. Контрольная работа должна быть прислана в срок (до сессии).

5. При выполнении и оформлении контрольной работы студент должен придерживаться следующих правил:

а) контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради;

б) на обложке тетради в заголовке указывается

– “Контрольная работа по высшей математике (указать её номер)”,

– фамилия и инициалы студента, номер зачётной книжки,

– факультет, курс, группа,

– дата отправления работы в ВУЗ и обратный адрес студента;

г) решения задач располагать в порядке следования их номеров;

д) перед началом решения задачи необходимо записать её условие, заменив, если необходимо, буквенные обозначения числовыми данными, соответствую-щими своему варианту;

е) все основные этапы решения задач следует сопровождать краткими, но
исчерпывающими пояснениями;

ж) в конце контрольной работы указывается используемая литература.

6. После получения прорецензированной контрольной работы студент должен исправить отмеченные ошибки и отправить её на повторное рецензирование. Зачтённая контрольная работа студенту не возвращается.

7. Без прорецензированной и зачтенной соответствующей контрольной работы студент не допускается к экзамену по предмету " Высшая математика".

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”

Элементы линейной алгебры

Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

Определители второго и третьего порядков. Определитель п -ого порядка

Свойства и способы вычисления определителей.

Миноры и алгебраические дополнения элемента квадратной матрицы. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

Решение систем п- линейных уравнений с п неизвестными: 1) по формулам Крамера; 2) матричным методом; 3) методом Гаусса.

Векторная алгебра

Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами и их свойства. Разложение вектора на плоскости и в трехмерном пространстве по базису. Системы координат. Прямоугольная декартовая система координат. Линейные операции над векторами в координатах.

Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе. Угол между векторами. Условие ортогональности двух векторов.

Векторное произведение векторов и его свойства. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе. Условие коллинеарности векторов.

Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

Приложения элементов векторной алгебры к геометрии: расстояние между двумя точками; деление отрезка в данном отношении l; вычисление угла между прямыми; вычисление площади треугольника; вычисление объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Аналитическая геометрия

Уравнения линии и поверхности. Уравнения прямой на плоскости: по точке и нормали; каноническое; параметрическое; общее. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Уравнение плоскости в пространстве: по точке и нормали; общее. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

Уравнения прямой в пространстве: каноническое; параметрическое.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Кривые второго порядка на плоскости. Эллипс, гипербола, парабола и их характеристики. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Введение в математический анализ

Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.

Числовая последовательность. Способы задания. Предел числовой последовательности и его свойства. Число е. Натуральные логарифмы.

Предел функции в точке. Правила предельного перехода для функций. Первый и второй замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

Комплексные числа в алгебраической форме записи. Операции сложения, умножения, деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл.

Таблица производных. Свойства производных. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций заданных неявно. Производные высшего порядка. Механический смысл производной второго порядка.

Дифференцируемость функций. Дифференциал и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала функции первого порядка. Дифференциал суммы, произведения и частного. Приложение дифференциала функции в приближенных вычислениях.

Раскрытие неопределенностей, при вычислении пределов функции, по правилу Лопиталя - Бернулли.

Исследование функции с помощью производной. Монотонные функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремум функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции. Глобальный экстремум функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости, вогнутости функции на интервале. Точки перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия существования у функции точек перегиба. Асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот. Примерная схема исследования и построения графика функции.

Неопределенный интеграл

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Методы интегрирования по частям и подстановкой. Интегрирование простейших рациональных дробей и дробно-рациональных функций. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.

Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла и его основные свойства.

Теоремы существования определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Ньютона-Лейбница. Основная формула интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.

Методы вычисления определенного интеграла: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной, формула интегрирования по частям.

Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой прямоугольной системе координат. Полярная система координат. Вычисление площадей плоской фигуры в полярной системе координат. Длина дуги плоской кривой. Фигуры вращения. Вычисление площадей и объемов фигур вращения при помощи определенного интеграла. Механические приложения определенного интеграла.

Несобственные интегралы первого и второго рода.

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных функций двух переменных.

Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференцирование сложных функций.

Производная функций по направлению. Градиент функции и его свойства. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Экстремум функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума функций нескольких переменных. Достаточные условия экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных в замкнутой области. Метод наименьших квадратов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные ДУ первого порядка. Решение линейных ДУ первого порядка (методом вариации произвольной постоянной и методом подстановки). Решение ДУ первого порядка, сводящихся к однородным и линейным уравнениям. Уравнения в полных дифференциалах.

ДУ высших порядков, допускающих понижение порядка.

Свойства решений однородных линейных уравнений п-ого порядка. Линейная зависимость и линейная независимость системы решений однородных линейных ДУ п-ого порядка. Определитель Вронского. Теорема об общем решении однородных линейных ДУ. Решение однородных линейных ДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Решение неоднородных линейных ДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольной постоянной. Решение неоднородных линейных ДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Теорема существования и единственности задачи Коши для нормальных систем ДУ. Решение нормальной системы ДУ методом исключений. Свойства решений линейных систем ДУ. Решение однородных линейных систем ДУ с постоянными коэффициентами.

Кратные интегралы и их приложения

Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Свойства двойных интегралов.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в двойном интеграле. Геометрические приложения кратных интегралов. Механические приложения кратных интегралов.

Числовые ряды

Числовой ряд. Сходимость числового ряда. Примеры сходящихся рядов. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости: признак Д'Аламбера; радикальный признак Коши; интегральный признак Коши; признак сравнения; предельный признак сравнения.

Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость знакопеременного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница и следствие из него.

Функциональные ряды

Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.

Равномерно сходящиеся ряды и их свойства. Степенной ряд. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема существования и единственности разложения функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд.

Разложение элементарных функций в степенной ряд. Разложение в степенной ряд функций:

Вычисление приближённых значений функции с помощью степенных рядов.

Вычисление определенного интеграла с помощью степенных рядов.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Теория вероятностей и математическая статистика

Предмет теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение. Свойство вероятностей. Основные формулы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Дискретная случайная величина. Закон и функция распределения. Вероятность попадания в интервал. Числовые характеристики.

Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность. Вероятность попадания в заданный интервал. Числовые характеристики.

Законы распределения случайных величин: биноминальный; равномерный; показательный; нормальный. Числовые характеристики законов. Графики плотности распределения вероятностей и функции распределения.

Основные понятия математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность. Вариационный ряд и его характеристики. Числовые характеристики выборки случайной величины и аппроксимация выборочного распределения.

Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Интервальная оценка математического ожидания случайной величины.

Выборочное уравнение линейной регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционная таблица. Нелинейная корреляция. Уравнение параболической регрессии второго порядка. Выборочное корреляционное отношение. Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной связи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – Москва: Наука, 1980. – 336 с.

2. Бугров, Я. С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – Москва: Наука, 1980. – 176 с.

3. Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С.

Бугров, С. М. Никольский. – Москва: Наука, 1988. – 432 с.

4. Герасимович, А. И. Математическая статистика / А. И. Герасимович. –

Минск: Выш. школа, 1983. – 279 с.

5. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:

Учебное пособие для втузов / В. Е. Гмурман. – Минск: Выш. школа, 1977. – 480

с.

6. Жевняк, Р. М. Высшая математика. В 5 ч. Ч. 1-5 / P. M. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш. школа, 1984. – Ч. 1–5.

7. Коваленко, И. Н. Теория вероятностей и математическая статистика / И. Н. Коваленко, А. А. Филлипова. – Москва: Высшая школа, 1982. – 256 с.

8. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. Т. 1, 2 / Н. С. Пискунов. – Москва: Наука, 1985 г. – Т. 1-2.

9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 1-3 / А. П. Рябушко [ и др. ] – Минск: Выш. школа, 1990. – Ч. 1–3.

10. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и

математической статистике / А. П. Рябушко [и др. ]. – Минск: Выш. школа,

1992. – 191 с.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1 – 10. Систему линейных неоднородных алгебраических уравнений решить:

а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным способом); в) методом Гаусса. Проверкой убедиться в правильности найденного решения.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11–20. Даны вершины треугольника . Найти:

а) уравнение стороны (записать общее и параметрические уравнения);

б) уравнения высоты (записать его в отрезках);

в) уравнение медианы (записать его в каноническом виде);

г) точку пересечения медианы и высоты ;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне (записать его в нормальном виде);

е) расстояние от точки до прямой .

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20. .

2. Дифференциальное и интегральное исчисления

21 – 30. Найти указанные пределы.

31 – 40. Продифференцировать данные функции.

31. а) , 32. а) ,

б) , б) ,

в) , в) ,

г) . г) .

33. а) , 34. а) ,

б) , б) ,

в) , в) ,

г) . г) .

35. а) , 36. а) ,

б) , б) ,

в) , в) ,

г) . г) .

37. а) , 38. а) ,

б) , б) ,

в) , в) ,

г) . г) .

39. а) , 40. а) ,

б) , б) ,

в) , в) ,

г) . г) .

41 – 50. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у на отрезке

41. . 42. .

43. . 44. .

45. . 46. .

47. . 48. .

49. . 50. .

51 – 60. Провести полное исследование функций и построить их графики.

51. а) , б) .

52. а) , б) .

53. а) , б) .

54. а) , б) .

55. а) , б) .

56. а) , б) .

57. а) , б) .

58. а) , б) .

59. а) , б) .

60. а) , б) .

61 – 70. Найти неопределенные интегралы.

61. а) б)

в) г)

д) е)

62. а) б)

в) г)

д) е)

63. а) б)

в) г)

д) е)

64. а) б)

в) г)

д) е)

65. а) б)

в) г)