КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО Уральский государственный экономический университет

Центр дистанционного образования

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по предмету «Линейная алгебра»

студент Сидоренков Антон Владимирович

специальность Управление качеством в производственно-

технологических системах

группа УК – 11 КТ

г. Краснотурьинск

01 декабря 2011 года

ВАРИАНТ № 7

ЗАДАНИЕ 1

Вычислить сумму матриц kA+mB, если

│ 2 – 1 4 │ │ 3 7 -2 │

А = │ 6 3 0 │ , В = │ 9 1 6 │, k = - 4, m = 5

│ -7 5 9 │ │ -4 8 5 │

Решение:

Элементы матрицы суммы определяются по формуле:

C_ij = ka _ij + mb _ij(1)

Вычислим элементы первой строки матрицы суммы:

C₁₁= -4 х 2 + 5 х 3 = 7; C₁₂= -4 х (-1) + 5 х 7 = 39; C₁₃= -4 х 4 + 5 х (-2) = -26

Вычислим элементы второй строки матрицы суммы:

C₂₁= -4 х 6 + 5 х 9 = 21; C₂₂= -4 х 3 + 5 х 1 = -7; C₂₃= -4 х 0 + 5 х 6 = 30

Вычислим элементы третьей строки матрицы суммы:

C₃₁= -4 х (-7) + 5 х (-4) = 8; C₃₂= -4 х 5 + 5 х 8 = 20; C₃₃= -4 х 9 + 5 х 5 = -11

Тогда матрица суммы будет иметь вид: │ 7 39 -26 │

С = │ 21 -7 30 │

│ 8 20 -11 │

Ответ: Матрица суммы:

│ 7 39 -26 │

С = │ 21 -7 30 │

│ 8 20 -11 │

ЗАДАНИЕ 2

│ 0 3 9 │

Вычислить определитель третьего порядка: А = │ 7 -8 2 │

│ -5 2 4 │

Решение:

Определителем третьего порядка матрицы называется число, которое определяется следующим образом:

│ a₁₁ a₁₂ a₁₃│

А = │ a₂₁a₂₂ a₂₃│

│ a₃₁ a₃₂ a₃₃│

А = a₁₁ х a₂₂ х a₃₃ + a₁₂ х a₂₃ х a₃₁ + a₁₃ х a₂₁ х a₃₂ - a₁₃ х a₂₂ х a₃₁ - a₁₂ х a₂₁ х a₃₃ – - a₁₁ х a₂₃ х a₃₂(2)

А = 0 х ( -8) х 4 + 3 х 2 х ( -5) + 9 х 7 х 2 - 9 х ( -8) х ( -5) - 3 х 7 х 4 - 0 х 2 х 2 = -348

Вычислим определитель третьего порядка методом разложения по первой строке:

│ 0 3 9 │

А = │ 7 -8 2 │ = ( - 1 )¹⁺¹х 0 х │ -8 2 │ + (- 1 )¹⁺²х 3 х

│ -5 2 4 │ │ 2 4 │

х │ 7 2 │ + (- 1 )¹⁺³х 9 х │ 7 -8 │ = (-3) х │ 7 2 │ +

│ -5 4 │ │ -5 2 │ │ -5 4 │

+ 9 х │ 7 -8 │ = (-3) х ( 7 х 4 - 2 х (-5)) + 9 х ( 7 х 2 - ( -8) х (-5) ) =

│ -5 2 │

= ( -3) х 38 + 9 х (-26) = = - 348

Ответ: определитель третьего порядка А = - 348

ЗАДАНИЕ 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

│ 0 3 9 │ 2 │

│ 7 -8 2 │ 5 │

│ -5 2 4 │ -3 │

Решение:

Решим систему уравнений:

{ 3Х₂+ 9Х₃= 2

{ 7Х₁- 8Х₂+ 2Х₃= 5

{ -5Х₁+ 2Х₂+ 4Х₃= -3

В матрице:

│ 0 3 9 │ 2 │

│ 7 -8 2 │ 5 │

│ -5 2 4 │ -3 │

поменяем местами строки 1 и 3, получим

│ -5 2 4 │ -3 │

│ 7 -8 2 │ 5 │

│ 0 3 9 │ 2 │

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -7/5, производим расчеты:

- 5 х ( -7/5) = 7 7 – 7 = 0

2 х ( -7/5) = - 14/5 -8 – (- 14/5) = - 26/5

4 х ( -7/5) = - 26/5 2 - (- 28/5) = 38/5

-3 х ( -7/5) = 21/5 5 - 21/5) = 4/5

то есть получим матрицу:

│ -5 2 4 │ -3 │

│ 0 - 26/5 38/5 │ 4/5│

│ 0 3 9 │ 2 │

Поменяем местами строки 2 и 3:

│ -5 2 4 │ -3 │

│ 0 3 9 │ 2 │

│ 0 - 26/5 38/5 │ 4/5 │

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -26/15. В результате этих подсчетов получим матрицу:

│ -5 2 4 │ -3 │

│ 0 3 9 │ 2 │

│ 0 0 116/5 │ 64/5│

Таким образом, получим систему уравнений, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе - два, третье – одну переменную:

{ -5Х₁+ 2Х₂+ 4Х₃= -3

{ 3Х₂+ 9Х₃= 2

{ 116/5 Х₃= 64/5

Отсюда последовательно находим:

- строку 3 последней получившейся расширенной матрицы

116/5 Х₃= 64/5, Х₃= 64/5: 116/5 = 16/87

Х₃= 16/87

- строку 2 последней получившейся расширенной матрицы

3Х₂+ 9Х₃= 2;

Из данного уравнения найдем значение переменной x₂

3Х₂= 2 - 9Х₃

Х₂= -3Х₃+ 2 /3

Подставим ранее найденное значение переменной x₃

Х₂= -3 х (16/87) + 2 /3

Х₂= 10/87

- строку 1 последней получившейся расширенной матрицы:

-5Х₁+ 2Х₂+ 4Х₃= -3

Из данного уравнения, найдем значение переменной x₁

-5Х₁= -2Х₂- 4Х₃ -3

Х₁= 2/5 Х₂+ 4/5Х₃+ 3/5

Подставим ранее найденные значения переменных x₂, x₃

Х₁= 2/5 х (10/87 ) + 4/5 х (16/87) + 3/5 = 23/29

Х₁= 23/29 = 0, 8

Х₂= 10/87 = 0, 1

Х₃= 16/87 = 0, 1

Проверка:

Подставив в исходную систему уравнений 7Х₁- 8Х₂+ 2Х₃= 5

полученные значения:

7 х 0, 8 - 8 х 0, 1+ 2 х 0, 1 = 5, 6 - 0, 8 + 0, 2 = 5

Ответ; Х₁= 0, 8

Х₂ = 0, 1

Х₃= 0, 1

ЗАДАНИЕ 4

® ®

Найти косинус угла между векторами АВ и АC,

если A(5, 4, − 7); B(2, 2, − 4); C(− 6, 7, 2)

Решение:

Х₁= 5; У₁= 4; Z₁= -7

Х₂ = 2; У₂= 2; Z₂= -4

Х₃= -6; У₃= 7; Z₃= 2

По координатам концов найдем векторы:

АВ= ( Х₂ - Х₁) i + ( У₂- У₁) j + ( Z₂- Z₁) k (3)

АВ= (2 - 5) i + (2- 4) j + ((- 4)- (-7)) k = -3 i -2 j + 3 k

АВ= -3 i -2 j + 3 k

АC= ( Х₃- Х₁) i + ( У₃- У₁) j+ ( Z₃- Z₁) k (4)

АC = (-6- 5) i + (7 - 4) j+ (2 - (-7)) k = - 11 i + 3 j + 9 k

АC = -11 i + 3 j + 9 k

Отсюда:

® __________________________________________________________

АВ= Ö ( Х₂ - Х₁)² + ( У₂- У₁)² + ( Z₂- Z₁)² (5)

® ___________________________ ____________ ____

АВ= Ö (-3) ² + (-2)² + 3² = Ö 9 + 4 + 9 = Ö 22

® ______________________________________________________

АC= Ö ( Х₃- Х₁) ²+ ( У₃- У₁)² + ( Z₃- Z₁)² (6)

® ________________________ __________________ _____

АC= Ö (-11)² + 3² + 9² = Ö 121 + 9 + 81 = Ö 211

Найдем скалярное произведение

®® ® ® ® ® ®

│ АВ, АС │ = АВх х АСх + АВу х АСу + АВz х АСz (7)

® ®

│ АВ, АС │ = -3 х (-11) + (-2) х 3 + 3 х 9 = 33 – 6 + 27 = 54

Применяя теперь формулу, получим

®® ® ® ®

│ АВ, АС │

cos(j) = ___________ (8)

®® ® ®

│ АВ│ │ АС │

__ ___ ___ ___

cos(j) = 54 / Ö 22 Ö 211, j = arccos 54 / Ö 22 Ö 211

__ ___

Ответ: j = arccos ( 54 / Ö 22 Ö 211 )

ЗАДАНИЕ 5

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если

А ( 1, 0, 3); В (2, -4, 4); С ( 3, 9, 9); D ( (-3, 7, 6)

Решение:

Объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А, В, С и D, равен:

│ Х₂ - Х₁ У₂- У₁ Z₂- Z₁ │

V = 1/6 │ Х₃- Х₁ У₃- У₁ Z₃- Z₁│ (9)

│ Х₄- Х₁ У₄- У₁ Z₄- Z₁ │

Вычислим объем тетраэдра АВСD:

│ 2-1 -4-0 4-3 │ │ 1 -4 1 │

V = 1/6 │ 3-1 9-0 9-3 │ = 1/6 │ 2 9 6 │

│ -3-1 7-0 6-3 │ │ -4 7 3 │

Вычислим определитель третьего порядка методом разложения по первой строке:

( - 1 )¹⁺¹х 1 х │ 9 6 │ + (- 1 )¹⁺²х (-4) х │ 2 6 │ + (- 1 )¹⁺³х 1 х │ 2 9 │ =

│ 7 3 │ │ -4 3 │ │ -4 7│

= 1 х ( 9 х 3 - 7 х 6) + 4 х ( 2 х 3 - ( -4) х 6 ) + 1 х ( 2 х 7 – (-4) х 9) = - 15 + 120 + 50 = 155

V = 1/6 │ 155│ = 155/6

Объем тетраэдра равен

V = 1/3 S осн · H (10)

Тогда высота равна H = 3V / S осн (11)

В основании лежит треугольник АВС, площадь которого определяется как модуль векторного произведения векторов

® ®

│ АВ│ и │ АС │

® ® ®

│ │ i j k │

S осн = │ ½ │ 1 -4 1 │

│ │ 2 9 6 │

Векторное произведение векторов равно:

® ® ®

i ( -4 х 6 - 9 х 1) - j ( 1 х 6 - 2 х 1) + k (1 х 9 - 2 х (-4)) =

® ® ®

= -33 i - 4 j + 17 k

Тогда площадь основания и высота тетраэдра:

_________________ ____________ _____

Sосн = 1/2 Ö (-33)²+ (-4)²+ (17)² = 1/2 Ö 1089 + 16 + 289 = 1/2 Ö 1394

DH = _3· V_ (12)

Sосн

DH = 3 х 155/6_ = 155_

1/2 Ö 1394 Ö 1394

Ответ:

Объем тетраэдра АВСD V = 155/6

высота DH DH = _155_

Ö 1394

ЗАДАНИЕ 6

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М_1, и перпендикулярно вектору

М_{2 М 3}, если точка М_{1 =}( 5, 4, 7); точка М_{2 =}(2, -7, -4); точка М_{3 =}( -6, 3, 2)

Решение:

® ®

Найдем координаты вектора нормали n = М_{2 М 3}к плоскости

® ®

n = М_{2 М 3}= ( Х₃- Х₂; У₃- У₂ ; Z₃- Z₂) = (13)

= ( -6 -2; 3 – (-7); 2 – (-4)) = ( -8, 10, 6)

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(х_1,у_2,z₃ )

перпендикулярно вектору n = (А, В, С), где А, В, С – координаты вектора нормали

А (Х - Х₁ ) + В (у - у₁ ) + С (z - z₁ ) = 0 (14)

А= -8; В= 10; С= 6, тогда уравнение плоскости примет вид:

- 8 ( Х – 5) + 10 ( у – 4 ) + 6 ( z – 7 ) = - 8Х + 40 + 10у – 40 + 6 z – 35 =

_=>- 8Х + 10у + 6 z – 35 = 0

Ответ: уравнение плоскости - 8Х + 10у + 6 z – 35 = 0

ЗАДАНИЕ 7

Вычислить угол между плоскостями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0,

если А1=5; В1=4; С1=7; D1=2; А2=-7; В2=-4; С2=-6; D2=3

Решение:

Угол j между двумя плоскостями определяем по формуле:

А1 А2 + В1 В2 + С1 С2____________ = (15)

сos j = _______________ _________________

Ö А₁ ² + В₁ ² + С₁ ² · Ö А₂ ² + В₂ ² + С₂ ²

5 х ( -7) + 4 х ( -4) + 7 х ( -6) _____ =

= ____________ ___________________

Ö 5² + 4² + 7² х Ö (-7)² + (-4)² + (-6) ²

- 35 – 16 – 42 = - 93_____ = - 93__

= ____ ____ ___ ____ _____

Ö 90 · Ö 101 Ö 90 · Ö 101 Ö 9090

_____

Следовательно, угол между плоскостями: j = arccos ( - 93 / Ö 9090 )

_____

Ответ: j = arccos ( - 93 / Ö 9090 )