3адача 1. Вариант 1. Вариант2 минимум. Вариант3. Вариант4. Вариант5. Вариант6. Вариант7. Вариант8 минимум. Вариант9 минимум. Вариант10. Вариант11 минимум. Вариант12. Вариант13. Вариант14 минимум. Вариант15 минимум. Вариант16. Вариани18

3адача 1

Вариант 1

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x₁-3x₂→ max, при системе ограничений:
5x₁-2x₂≤ 20, (1)
x₁+2x₂≥ 10, (2)
-7x₁+10x₂≤ 80, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x₁-3x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x₁-3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (4; -3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
5x₁-2x₂=20
x₁+2x₂=10
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 5, x₂ = 2. 5
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*5 - 3*2. 5 = 12. 5

Вариант2 минимум

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 2x₁+5x₂ → min, при системе ограничений:
2x₁-x₂≥ 6, (1)
x₁+2x₂≥ 5, (2)
4x₁+x₂≥ 8, (3)
-x₁+2x₂≥ 6, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x₁+5x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x₁+5x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁-x₂=6
-x₁+2x₂=6
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 6, x₂ = 6
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2*6 + 5*6 = 42

Вариант3

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x₁+2x₂ → max, при системе ограничений:
-x₁+3x₂≥ 10, (1)
x₁+x₂≤ 6, (2)
x₁+4x₂≥ 3, (3)
-x₁+4x₂≤ 2, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой пустое множество.

Вариант4

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = -2x₁+5x₂→ max, при системе ограничений:
-3x₁+2x₂≤ 12, (1)
x₁+2x₂=8, (2)
x₁+x₂≥ 5, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = -2x₁+5x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = -2x₁+5x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-2; 5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₁+2x₂=8
x₁+x₂=5
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2, x₂ = 3
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = -2*2 + 5*3 = 11

Вариант5

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x₁+6x₂ → max, при системе ограничений:
x₁+2x₂≤ 10, (1)
3x₁-3x₂≥ 6, (2)
2x₁+3x₂≤ 6, (3)
3x₁+x₂≥ 4, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+6x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+6x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x₁-3x₂=6
2x₁+3x₂=6
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2. 4, x₂ = 0. 4
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*2. 4 + 6*0. 4 = 4. 8

Вариант6

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = -3x₁-2x₂→ max, при системе ограничений:
x₁-x₂≥ 3, (1)
2x₁+2x₂≥ 2, (2)
x₁+x₂≥ 6, (3)
-2x₁+6x₂≤ 20, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = -3x₁-2x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = -3x₁-2x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-3; -2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₁-x₂=3
x₁+x₂=6
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4. 5, x₂ = 1. 5
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = -3*4. 5 - 2*1. 5 = -16. 5

Вариант7

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x₁+6x₂ → max, при системе ограничений:
x₁+2x₂≤ 10, (1)
3x₁-3x₂≥ 6, (2)
2x₁+13x₂≤ 6, (3)
3x₁+x₂≥ 4, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+6x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+6x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (5) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₂=0
2x₁+13x₂=6
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 3, x₂ = 0
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*3 + 6*0 = 3

Вариант8 минимум

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 4x₁+2x₂ → min, при системе ограничений:
x₁+2x₂≥ 7, (1)
2x₁-x₂≥ 8, (2)
-x₁+2x₂≤ 6, (3)
-2x₁+8x₂≥ 4, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x₁+2x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x₁+2x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (4; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁-x₂=8
-2x₁+8x₂=4
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4. 8571, x₂ = 1. 7143
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*4. 8571 + 2*1. 7143 = 22. 8571

Вариант9 минимум

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 3x₁+4x₂ → min, при системе ограничений:
x₁+2x₂≥ 8, (1)
4x₁+4x₂≥ 18, (2)
-x₁+x₂≤ 1, (3)
x₂=2, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+4x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+4x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; 4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₁+2x₂=8
x₂=2
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4, x₂ = 2
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*4 + 4*2 = 20

Вариант10

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x₁+3x₂ → max, при системе ограничений:
x₁-x₂≤ 1, (1)
2x₁+x₂≤ 2, (2)
x₁-x₂≥ 0, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+3x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁+x₂=2
x₁-x₂=0
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0. 6667, x₂ = 0. 6667
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*0. 6667 + 3*0. 6667 = 2. 6667

Вариант11 минимум

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 2x₁+3x₂ → min, при системе ограничений:
3x₁+2x₂≥ 6, (1)
x₁+4x₂≥ 4, (2)
x₁ ≥ 0, (3)
x₂ ≥ 0, (4)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x₁+3x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x₁+3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x₁+2x₂=6
x₁+4x₂=4
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 1. 6, x₂ = 0. 6
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 2*1. 6 + 3*0. 6 = 5

Вариант12

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = x₁+x₂ → min, при системе ограничений:
x₁+2x₂≤ 10, (1)
x₁+2x₂≥ 2, (2)
2x₁-x₂≤ 10, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₁+2x₂=2
x₁=0
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 1
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*0 + 1*1 = 1

Вариант13

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 12x₁+15x₂ → max, при системе ограничений:
6x₁+6x₂≤ 36, (1)
4x₁+2x₂≤ 20, (2)
4x₁+8x₂≤ 40, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 12x₁+15x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 12x₁+15x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (12; 15). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
6x₁+6x₂=36
4x₁+8x₂=40
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2, x₂ = 4
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 12*2 + 15*4 = 84

Вариант14 минимум

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = x₁+x₂ → min, при системе ограничений:
x₁-x₂≤ 2, (1)
x₁+x₂≥ 2, (2)
x₁-2x₂≤ 1, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₁+x₂=2
x₁-2x₂=1
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 1. 6667, x₂ = 0. 3333
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*1. 6667 + 1*0. 3333 = 2
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (2), то на отрезке BA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.
Для определения координат точки A решим систему двух линейных уравнений:
x₁+x₂=2
x₁=0
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 2
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*0 + 1*2 = 2

Вариант15 минимум

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = x₁-3x₂ → min, при системе ограничений:
10x₁+3x₂≥ 30, (1)
-x₁+x₂≤ 3, (2)
x₁-x₂≤ 4, (3)
x₁+x₂≥ 0, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁-3x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁-3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; -3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой бесконечное множество (не ограничена).

Вариант16

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 9x₁+25x₂→ min, при системе ограничений:
3x₁+5x₂≥ 15, (1)
2x₁-3x₂≥ 6, (2)
-x₁+4x₂≥ 4, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 9x₁+25x₂ → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 9x₁+25x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (9; 25). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁-3x₂=6
-x₁+4x₂=4
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 7. 2, x₂ = 2. 8
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 9*7. 2 + 25*2. 8 = 134. 8

Вариани18

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x₁+2x₂ → max, при системе ограничений:
2x₁+3x₂≤ 6, (1)
2x₁+x₂≤ 4, (2)
x₁≤ 1, (3)
x₁-x₂≤ -1, (4)
2x₁+x₂≥ 1, (5)
x₁ ≥ 0, (6)
x₂ ≥ 0, (7)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = x₁+2x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x₁+2x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (7), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁+3x₂=6
x₁=0
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 2
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*0 + 2*2 = 4