Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

14.2. расчет эффективной ставки сложных процентов при выдаче ссуды по простои процентной ставке

ГЛАВА 9.

АРИФМЕТИКА ИПОТЕКИ

Ипотека – это кредитование под залог жилья. Как начисляются и уплачиваются проценты? Каков план погашения долга?

9. 1. ВАРИАНТ 1: АННУИТЕТ

Пример 54. Банк выдает кредит на сумму А = 30000 долл., срок п = 5 лет, процентная ставка i = 5% годовых. Составим план погашения долга.

Один из возможных вариантов – простая рента постнумерандо. Известны современная стоимость ренты А, срок n и процентная ставка i. Тогда (см. § 8. 5) ежегодный платеж

R = 6929, 24 долл.

Всего за 5 лет будет выплачено 5× 6929, 24 = 34646, 2 долл.

Схема типична для западного банка. Можно рассмотреть в качестве вариантов простую ренту пренумерандо или общую ренту.

Задача 54. Банк выдает кредит на сумму А = 40000 долл., срок n = 10 лет, процентная ставка i = 10% годовых. Составить план погашения долга с помощью простой ренты постнумерандо.

9. 2. ВАРИАНТ 2: СПРАВЕДЛИВЫЙ, НО НЕ ОЧЕНЬ УДОБНЫЙ

Кредит погашается равномерно с уплатой процентов на остаток долга. Платеж в j-й год определяется формулой А/п (1/п-я часть суммы кредита) + iA(n + 1 – j)/n (i% от остатка долга на начало j-го года).

Пример 55. Применим этот вариант в примере 54. Заполним таблицу.

Для нулевого года указан только остаток долга.

Во 2-м столбце указана 1/n = 1/5-я часть кредита.

Каждое число 3-го столбца равно 5% от числа из последнего столбца предыдущей строки.

4-й столбец (выплата в j-м году) – это сумма соответствующих чисел из 2-го и 3-го столбцов.

Каждое число последнего столбца есть разность числа из последнего столбца предыдущей строки и числа из 2-го столбца этой же строки.

В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.

Всего за 5 лет будет выплачено 34500 долл. Это несколько меньше, чем в предыдущем варианте (поэтому вариант справедливый). Но выплаты смещены к началу срока погашения кредита (поэтому для заемщика вариант не очень удобный). Схема типична для российского банка.

Задача 55. Применить этот вариант в задаче 54.

9. 3. ВАРИАНТ 3: ПРОСТОЙ, НО ГРАБИТЕЛЬСКИЙ

К основной сумме долга прибавляются простые проценты за 5 лет. И все это делится на срок погашения кредита. Такова ежегодная выплата.

Пример 56. Применим этот вариант в примере 54.

(30000 + 0, 05× 5× 30000)/5 = 37500/5 = 7500 долл.

Всего за 5 лет будет выплачено 37500 долл. Здесь заемщик платит проценты на всю сумму кредита в течение всего срока погашения, даже на ту часть долга, которую он уже вернул.

Задача 56. Что обещает грабительский вариант в задаче 54?

9. 4. ВАРИАНТ 4: «ХВОСТ», ПОГАШАЕМЫЙ В КОНЦЕ СРОКА

заемщик вносит в течение n – 1 года определенную фиксированную сумму плюс проценты на остаток долга, а в последний год возвращает остаток долга и проценты по нему.

Пример 57. Применим этот вариант в примере 54. Пусть размер ежегодного платежа равен 5000 долл.

Задача 57. Применить этот вариант в задаче 54, приняв размер основного ежегодного платежа (без процентов) 3000 долл.

ГЛАВА 10. ЛОМБАРДНЫЙ КРЕДИТ

В случае ломбардного кредита заемщик должен обеспечить получаемый кредит ценными бумагами или материальными ценностями. Сумма ломбардного кредита обычно составляет 75–80% номинальной стоимости залога. Если кредит обеспечен ценными бумагами, то его сумма рассчитывается исходя из 75–80% текущей курсовой стои­мости данных ценных бумаг. Обычно ломбардный кредит выдается па 3 месяца, используется французская практика (продолжительность года K = 360 дней, учитывается точное количество дней в месяце).

Заемщик может погасить весь долг вовремя, может продлить срок погашения на следующие 3 месяца и может выплатить вовремя лишь часть долга, а оставшуюся часть погашать в следующие 3 месяца. Если заемщик не погасит кредит вовремя, он должен рассчитаться c кредитором по увеличенной процентной ставке в течение всего времени просрочки платежа. Нам понадобятся некоторые формулы.

10. 1. РАСЧЕТЫ «ОТ СТА», «МЕНЬШЕ СТА», «ВЫШЕ СТА»

Пусть Р – первоначальная сумма, i –простая процентная ставка, t – период начисления процентов (в днях).

Тогда наращенная сумма S = P(1 + it/K) – P(1 + it/360). Величина I = Pit/360 – это проценты. Отсюда . Это расчет «от ста».

Но при расчете процентного платежа не всегда известна первоначальная сумма Р. Могут возникнуть такие ситуации, когда известна лишь первоначальная сумма, уменьшенная или увеличенная на про­центный платеж.

 – (это расчет «меньше ста»).

 – (это расчет «выше ста»).

10. 2. РАСЧЕТ ЛОМБАРДНОГО КРЕДИТА

Пример 58. 18 апреля заемщик обратился за получением ломбардного кредита и предоставил в залог ценности на сумму 100000 руб. Сумма ломбардного кредита – 80% от стоимости залога, процентная ставка i = 12% годовых. Определим величину кредита.

Кредит предоставлен на 3 месяца (18 апреля – 18 июля), его срок

t = 13 + 31 + 30 + 18 – 1 = 91 день.

0, 8× 100000 = 80000 руб. = Р.

Проценты

I = Pit/360 = 80000× 0, 12× 91/360 ≈ 2426, 67 руб.

Заемщик получит сумму

Р – I = 80000 – 2426, 67 = 77573, 33 руб.

Задача 58. 10 августа заемщик обратился за получением лом­бардного кредита и предоставил в залог ценности на сумму 90000 руб. Сумма ломбардного кредита – 75% от стоимости залога, процентная ставка i = 14% годовых. Определить величину кредита.

Пример 59. 18 июля заемщик перечислил 25000 руб. Распределим эту сумму на выплату основного долга и проценты, найдем остаток долга.

Остаток долга, уменьшенный на процентный платеж = 80000 – 25000 = 55000 руб. = Р – I.

Найдем процентный платеж I, используя формулу расчета «меньше ста». Срок (18 июля – 18 октября) t = 92 дня.

1740, 03 руб.

Тогда остаток долга равен

55000 + 1740, 03 = 56740, 03 руб.

Задача 59. В задаче 58 заемщик 10 ноября перечислил 30000 руб. Распределить эту сумму на выплату основного долга и проценты, найти остаток долга.

ГЛАВА 11.

СРЕДНИЙ СРОК ПОГАШЕНИЯ ССУДЫ ОДНОМУ КРЕДИТОРУ

Заемщик должен одному кредитору суммы Р₁, …, Р_n, погашаемые через t₁, …, t_n,  дней с процентными ставками i₁, …, i_n, соответственно, Все долги можно выплатить сразу через t_s дней – это средний срок погашения ссуды. Сумма процентных платежей по каждой из ссуд должна равняться процентному платежу, начисленному на Р₁ +... + Р_n при средней процентной ставке i_s и среднем сроке t_s:

I₁ +... + I_п = I_s, то есть Р₁i₁t₁/K+ … + Р_ni_nt_n/K = (Р₁ +... + P_n)i_st_s/K

(здесь К – продолжительность года).

Отсюда Р₁i₁t₁ + … + Р_ni_nt_n = (Р₁ +... + P_n)i_st_s, то есть t_s = .

Пример 60. Заемщик должен одному кредитору Р₁ = 5000 руб. (срок погашения 17 марта, процентная ставка i₁ = 11% годовых), Р₂ = 6000 руб. (срок погашения 12 мая, процентная ставка i₂ ⁼ 12% годовых), Р₃ = 8000 руб. (срок погашения 27 мая, процентная ставка i₃ = 14% годовых). Когда лучше выплатить весь долг сразу (процентная ставка i_s = 13% годовых), чтобы при этом не понесли ущерба ни кредитор, ни заемщик?

Примем дату первого погашения 17 марта за нулевой момент времени. Тогда t₁ = 0, t₂ (17 марта – 12 мая) = 56 дней, t₃ = (17 марта – 27 мая) = 71 день.

Средний срок погашения ссуды

t_s = дней

(после 17 марта), то есть 5 мая.

Задача 60. Заемщик должен одному кредитору Р₁ = 7000 руб. (срок погашения 17 июля, процентная ставка i₁ = 9% годовых), Р₂ = 9000 руб. (срок погашения 23 августа, процентная ставка i₂ = 10% годовых), Р₃ = 10000 руб. (срок погашения 14 сентября, процентная станка i₃ = 12% годовых). Когда лучше выплатить весь долг сразу (процентная ставка i_s = 11% годовых), чтобы при этом не понесли ущерба ни кредитор, ни заемщик?

ГЛАВА 12.

НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ НА СУММУ ВКЛАДА ДО ВОСТРЕБОВАНИЯ

Пусть P – первоначальная сумма, t – период начисления (в днях), i – простая процентная ставка, K – продолжительность года. Величина Pt/100 (или Pt) называется процентным числом. Дивизор D = K/i (здесь значение i берется не в долях, а в целых) численно равен такому количеству денежных единиц, с которого при ставке i получается 1 денежная единица дохода в день.

Обычно сумма на вкладе до востребования часто меняется. Как найти величину начисленных процентов?

Пример 61. При открытии счета до востребования 14 марта на него была положена сумма 6000 руб. 25 апреля на счет поступили 5000 руб. 17 мая со счета были сняты 7000 руб. 23 июня добавлены 2000 руб. 19 июля счет был закрыт. Процентная ставка i = 18% годовых. Используется французская практика (см. § 2. 2). Определим сумму, которую получил владелец счета.

На счете были зафиксированы следующие суммы (в скобках указаны сроки хранения этих сумм):

6000 руб. (42 дня), 6000 + 5000 = 11000 руб. (22 дня),

11000 – 7000 = 4000 руб. (37 дней), 4000 + 2000 = 6000 руб. (26 дней).

Сумма процентных чисел равна

(6000× 42 + 11000× 22 + 4000× 37 + 6000× 26)/100 = 7980 руб.

Во французской практике продолжительность года K= 360 дней. Дивизор D = K/i = 360/18 = 20. Тогда общая величина начисленных процентов 7980/20 = 399 руб., а владелец счета получил при закрытии счета 6000 + 399 = 6399 руб.

Задача 61. При открытии счета до востребования 25 июня на него была положена сумма 7000 руб. 14 июля на счет поступили 3000 руб. 19 августа со счета были сняты 8000 руб. 3 октября добавлены 5000 руб. 27 ноября счет был закрыт. Процентная ставка i = 12% годовых. Используется французская практика (см. § 2. 2). Определить сумму, которую получил владелец счета.

Глава 13.

РЕАЛЬНАЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ С УЧЕТОМ НАЛОГА

В ряде стран проценты, получаемые при помещении некоторой денежной суммы в рост, облагаются налогом. Поэтому реальные наращенные суммы уменьшаются.

13. 1. СРЕДНЯЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ СТАВКИ НАЛОГА

Средняя ставка налога – это величина уплаченного налога в процентах от совокупного дохода, подлежащего налогообложению.

Предельная ставка налога – это ставка, по которой платится налог за каждый дополнительный рубль дохода.

Средняя ставка налога показывает общее влияние налогов, но предельная ставка более значима для большинства решений.

Пример 62. Схема налога на проценты: 5% с части дохода от 0 до 3000 руб., 7% с части дохода от 3000 до 10000 руб., 12% с части дохода от 10000 до 20000 руб., 20% с части дохода от 20000 до 50000 руб. и 30% с части дохода свыше 50000 руб. Начислены проценты в размере 47000 руб. Найдем среднюю и предельную ставки налога.

Разобьем 47000 руб. на части, соответствующие предельным ставкам налога:

47000 = 3000 + 7000 + 10000 + 27000.

С каждой части возьмем соответствующий налог:

3000× 0, 05 + 7000× 0, 07 + 10000× 0, 12 + 27000× 0, 2 = 7240 руб.

Средняя ставка налога

7240/47000× 100% ≈ 15, 4%.

Так как 20000 < 47000 < 50000, то предельная ставка налога равна 20%.

Задача 62. Схема налога на проценты: 3% с части дохода от 0 до 5000 руб., 5% с части дохода от 5000 до 15000 руб., 8% с части дохода от 15000 до 30000 руб., 12% с части дохода от 30000 до 50000 руб. и 20% с части дохода свыше 50000 руб. Начислены проценты в размере 56000 руб. Найти среднюю и предельную ставки налога.

13. 2. СЛУЧАЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Пусть Р – первоначальная сумма, п – период начисления, i – простая процентная ставка, q – ставка налога на проценты. Тогда проценты I = Pin, а величина налога на проценты qI= qPin. Отсюда наращенная сумма

S = Р+ I – qI= = Р(1 + in – qin) = P(1 + in(1 – q)).

Пример 63. Первоначальная сумма P = 5000 руб., период начисления п = 0, 5 года, простая процентная ставка i = 15% годовых, ставка налога на проценты q= 12%.

Тогда наращенная сумма

S = P(1 + in(1 – q))= 5000(1 + 0, 15х0, 5× (1 – 0, 12)) = 5330 руб.

Задача 63. Первоначальная сумма Р= 7000 руб., период начисления п = 0, 25 года, простая процентная ставка / = 14% годовых, ставка налога на проценты q = 13%. Найти наращенную сумму.

13. 3. СЛУЧАЙ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ

Пусть Р – первоначальная сумма, n – период начисления, d – простая учетная ставка, q – ставка налога на проценты.

Тогда проценты I = Pnd/(1 – nd), а величина налога на проценты qI=qPnd/(1 – nd).

Отсюда наращенная сумма

S = P/(1 – nd) – qPnd/(1 – nd) = P(1 – qnd)/ (1 – nd).

Пример 64. Первоначальная сумма P= 5000 руб., период начисления п = 0, 5 года, простая учетная ставка d= 15% годовых, ставка налога на проценты q = 12%.

Тогда наращенная сумма

P(1 – qnd)/ (1 – nd) = 5000× (1 – 0, 12× 0, 5× 0, 15)/(1 – 0, 5× 0, 15) ≈ 5356, 76 руб.

Задача 64. Первоначальная сумма Р = 7000 руб., период начисления п = 0, 25 года, простая учетная ставка d = 14% годовых, ставка налога на проценты q = 13%. Найти наращенную сумму.

13. 4. СЛУЧАЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Пусть Р – первоначальная сумма, п – период начисления, i – сложная процентная ставка, q – ставка налога на проценты.

Метод взыскания налога (сумма налога на проценты определяется сразу за весь период начисления или каждый год отдельно) в случае сложной процентной ставки не влияет на общую сумму налога. Но для плательщика налога вовсе не безразлично, когда он его платит.

Наращенная сумма без учета налога S = P(1 + i)ⁿ, а проценты I = P(1 + i)ⁿ – P.

Поэтому величина налога на проценты qI= q(P(1 + i)ⁿ – Р).

Отсюда наращенная сумма с учетом налога

S = P(1 + i)ⁿ – qI = P(1 + i)ⁿ – q(P(1 + i)ⁿ – P) = P((1 – q)(1 + i)ⁿ + q).

Пример 65. Первоначальная сумма Р= 5000 руб., период начисления п = 3 года, сложная процентная ставка i = 15% годовых, ставка налога на проценты q = 12%.

Тогда наращенная сумма

S = P((1 – q)(1 + i)ⁿ + q). = 5000× ((1 – 0, 12)(1 + 0, 15)³ + 0, 12) = 7291, 85 руб.

Задача 65. Первоначальная сумма Р= 7000 руб., период начисления п = 2 года, сложная процентная ставка i = 14% годовых, ставка налога на проценты q = 13%. Найти наращенную сумму.

Замечание. Аналогичные рассуждения о реальной ставке доходности с учетом налога можно провести и для случаев номинальной ставки сложных процентов и непрерывного начисления процентов.

ГЛАВА 14.

ДОХОДНОСТЬ УДЕРЖАНИЯ КОМИССИОННЫХ

Рассмотрим несколько случаев расчета доходности при удержании банком комиссионных.

Пусть h – доля комиссионных в размере ссуды, то есть первоначальная сумма Р уменьшается на величину hР.

14. 1. РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ СТАВКИ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ПРИ ВЫДАЧЕ ССУДЫ ПО ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ

Пусть i – простая процентная ставка, п – период начисления, i_э – эффективная ставка простых процентов. Банк выдает ссуду на срок п по ставке i, удерживает с нее долю комиссионных h и хочет выяснить доходность i_э этой операции.

Наращенные суммы равны: P(1 + ni) = (Р – hP)(1 + ni_э). Отсюда

1 + ni = (1 – h)(1 + ni_э) →

Если срок п выражен в днях, то в последнюю формулу нужно подставить п = t/K, где t – срок (в днях), K – продолжительность года:

Пример 66. При выдаче кредита на п = 0, 5 года по простой процентной ставке i = 12% годовых удерживаются комиссионные h = 1% суммы ссуды. Определим доходность этой операции в виде эффективной ставки простых процентов.

Доходность операции равна:

0, 1414 (= 14, 14% годовых).

Мы видим, что доходность операции по выдаче ссуды с удержанием комиссионных выше, так как сумма выданной ссуды уменьшается.

Задача 66. При выдаче кредита на п = 0, 25 года по простой процентной ставке i = 14% годовых удерживаются комиссионные h = 2% суммы ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффективной ставки простых процентов.

14. 2. расчет эффективной ставки сложных процентов при выдаче ссуды по простои процентной ставке

Пусть i – простая процентная ставка, п – период начисления, i_э – эффективная ставка сложных процентов. Банк выдает ссуду на срок п по ставке i, удерживает с нее долю комиссионных h и хочет выяснить доходность этой операции. Наращенные суммы равны:

P(1+ni) = (P – hP)(1 + i_э).

Отсюда 1+ni = (1 – h)(1 + i_э) → i_э = .

Пример 67. При выдаче кредита на п = 3 года по простой процентной ставке i = 20% годовых удерживаются комиссионные h = 1% суммы ссуды. Определим доходность этой операции в виде эффективной ставки сложных процентов.

Доходность операции равна:

i_э =  ≈ 0, 174 (= 17, 4% годовых).

Задача 67. При выдаче кредита на п = 2 года по простой процентной ставке i = 18% годовых удерживаются комиссионные h = 2% суммы ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффективной ставки сложных процентов.