Понятие скалярного произведения.

Билет №15

Понятие скалярного произведения.

Скаля́ рное произведе́ ние- операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекциювектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Определение.

Скалярным произведением (a, b) векторов a и b называется число a_x· b_x+ a_y· b_y:

(a, b) = a_x·b_x+a_y ·b_y

К примеру если a = {1, 3}, b = {4, 2} тогда (a, b) = 1·4+3·2 = 4+6 = 10.

(Скалярным произведением двух векторов a и b называют число,

равное |a| |b| cos φ — произведению длин |a| и |b| этих векторов на косинус угла φ между ними. )

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Его свойства:

Для произвольных векторов и любого числа k справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) (k·a, b) = (a, k·b)=k·(a, b) – сочетательный или ассоциативный закон (линейность по каждому сомножителю) скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

4) при ;
5) ;
6) Если -- угол между векторами a и b, то ;
7) , если ;
8) тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

Геометрическая интерпретация скалярного произведения.

Скалярное произведение (a, b) векторов a и b равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами.

То есть (a, b) =|a| · |b| cos∠ (a, b),

где ∠ (a, b) есть угол между векторами a и b :