Параллельные плоскости. Лекция. Вопрос 1. Параллельные плоскости. Вопрос 2. Свойства параллельных плоскостей. Вопрос 3. Примеры

Параллельные плоскости

Лекция

План занятия:

Вопрос 1. Параллельные плоскости

Вопрос 2. Свойства параллельных плоскостей

Вопрос 3. Примеры.

Вопрос 1. Параллельные плоскости

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: .

Иллюстрация параллельных плоскостей

Существуют ли параллельные плоскости? Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Теорема (Признак параллельности двух плоскостей).Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Вопрос 2. Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Свойство 3. Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Вопрос 3. Примеры

Задача 1.Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В₁ и В₂ (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂=2А₁А=12 см, АВ₁=5 см.

б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁=18 см. АА₁=24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А₁А = k, тогда по условию длина А₁А₂=2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА₂=3k=3∙6=18, т.е. АА₂=18 см.

Две параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны. Значит, треугольники АА₂В₂ и АА₁В₁ подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА₁В₁ и АА₂В₂ равны). Из подобия имеем:

см.

Ответ: АА₂= 18 см, АВ₂ = 15 см.

б) Пусть А₁А₂= k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА₂ состоит из длин двух отрезков: АА₂=АА₁+ А₁А₂, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит, см.

Из подобия треугольников АА₂В₂ и АА₁В₁ следует, что

см.

Ответ: А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.