Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Геометрический разнобой

Геометрический разнобой

1. Приведите пример выпуклого многоугольника, который можно разрезать как на три равных треугольника, так и на четыре равных четырехугольника.

1. В треугольнике ABC провели медиану AM, биссектрису AD и высоту BH. Потом треугольник стерли, остались только точки M, D и H. Восстановите по этим точкам треугольник ABC.

1. В треугольнике ABC построили серединный перпендикуляр d к стороне BC и ортоцентр H. Затем треугольник стерли: остались лишь прямая d, прямая p, на которой лежали вершины A и B, и точка H. Восстановите по этим данным треугольник ABC.

1. Точки A и B на плоскости соединены ломаной с конечным числом звеньев. Докажите, что существует отрезок, концы которого лежат на ломаной, параллельный отрезку AB и имеющий длину AB/2.

1. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

1. На прямой дано 2003 отрезка. Докажите, что либо существуют не менее 77 отрезков, которые попарно не пересекаются, либо существуют не менее 26 отрезков, которые имеют общую точку.

1. Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых есть данная постоянная величина.

1. Квадрат со стороной 1 разрезан на прямоугольники. В каждом прямоугольнике выбрали одну из меньших сторон. Докажите, что сумма всех выбранных сторон не меньше 1.

1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD (углы DAB и ADC прямые) проведена прямая L, которая пересекает боковые стороны AD и BC трапеции соответственно в точках M и N, причем угол MNB прямой. Пусть MC=a, DN=b, а расстояние от точки B до прямой, проходящей через точки M и C, равно d. Найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точки D и N.

1. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC как на стороне построен квадрат с центром в точке O (точки O и C лежат по разные стороны от прямой AB). Пусть A₁ и B₁ – основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B соответственно на прямую OC. Докажите, что CB₁ = OA₁.

1. Около непрямоугольного треугольника ABC описана окружность. A₁ и B₁ – основания высот треугольника, опущенных из вершин A и B. Докажите, что прямая A₁B₁ параллельна касательной к окружности в точке C.

1. В окружность вписан квадрат ABCD. На дуге CD, не содержащей точек A и B, взята точка X. На отрезках AX и BX построены соответственно точки P и Q так, что BP=AQ=AB. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке M. Найдите геометрическое место точек M.

1. На плоскости даны 2004 точки и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до этих точек не меньше 2004.

1. Из правильного пятиугольника со стороной 1 см удалили все точки, отстоящие от всех вершин пятиугольника на расстояние меньшее 1 см. Найдите площадь оставшейся части.

1. Разрежьте правильный треугольник на 111 правильных треугольников.

1. В равнобедренном треугольнике с углом 30^\circ при вершине сумма расстояний от некоторой точки основания до боковых сторон равна d. Найдите площадь треугольника.

1. Приведите пример прямоугольника, который можно разрезать на нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Среди подобных треугольников могут быть и равные.

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и K – середины сторон BC и CD. Докажите, что если прямые AP и AK делят диагональ BD на три равных отрезка, то ABCD – параллелограмм.

1. В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высота AH и биссектриса BF. Докажите, что если BFA=45º, то FHC=45 º.

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки S и T – середины сторон AB и CD соответственно, прямые AT и DS пересекаются в точке O. Точки пересечения прямых BO и CO со стороной AD разделили ее на три равные части. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

1. Найдите произведение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника, если сумма его сторон в 3 раза больше их произведения.

1. BD – биссектриса угла B треугольника ABC. Описанные окружности треугольников ABD и CBD пересекают стороны BC и BA в точках F и E соответственно. Докажите, что AE=CF.

1. ABCD – равнобедренная трапеция, AD параллельно BC. N – точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AB с прямой BC. Оказалось, что AN и CD перпендикулярны. Найдите углы трапеции.

1. AL и BM – биссектрисы треугольника ABC. Известно, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников ACL и BCM лежит на отрезке AB. Найдите угол ACB.

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, M и N – середины сторон BC и AD. Прямая MN пересекается с лучом AB в точке P, а с лучом DC в точке Q. Докажите, что PB=QC.

1. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника.