Геометрический разнобой
Геометрический разнобой
- Приведите пример выпуклого многоугольника, который можно разрезать как на три равных треугольника, так и на четыре равных четырехугольника.
- В треугольнике ABC провели медиану AM, биссектрису AD и высоту BH. Потом треугольник стерли, остались только точки M, D и H. Восстановите по этим точкам треугольник ABC.
- В треугольнике ABC построили серединный перпендикуляр d к стороне BC и ортоцентр H. Затем треугольник стерли: остались лишь прямая d, прямая p, на которой лежали вершины A и B, и точка H. Восстановите по этим данным треугольник ABC.
- Точки A и B на плоскости соединены ломаной с конечным числом звеньев. Докажите, что существует отрезок, концы которого лежат на ломаной, параллельный отрезку AB и имеющий длину AB/2.
- Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
- На прямой дано 2003 отрезка. Докажите, что либо существуют не менее 77 отрезков, которые попарно не пересекаются, либо существуют не менее 26 отрезков, которые имеют общую точку.
- Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых есть данная постоянная величина.
- Квадрат со стороной 1 разрезан на прямоугольники. В каждом прямоугольнике выбрали одну из меньших сторон. Докажите, что сумма всех выбранных сторон не меньше 1.
- В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD (углы DAB и ADC прямые) проведена прямая L, которая пересекает боковые стороны AD и BC трапеции соответственно в точках M и N, причем угол MNB прямой. Пусть MC=a, DN=b, а расстояние от точки B до прямой, проходящей через точки M и C, равно d. Найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точки D и N.
- На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC как на стороне построен квадрат с центром в точке O (точки O и C лежат по разные стороны от прямой AB). Пусть A1 и B1 – основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B соответственно на прямую OC. Докажите, что CB1 = OA1.
- Около непрямоугольного треугольника ABC описана окружность. A1 и B1 – основания высот треугольника, опущенных из вершин A и B. Докажите, что прямая A1B1 параллельна касательной к окружности в точке C.
- В окружность вписан квадрат ABCD. На дуге CD, не содержащей точек A и B, взята точка X. На отрезках AX и BX построены соответственно точки P и Q так, что BP=AQ=AB. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке M. Найдите геометрическое место точек M.
- На плоскости даны 2004 точки и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до этих точек не меньше 2004.
- Из правильного пятиугольника со стороной 1 см удалили все точки, отстоящие от всех вершин пятиугольника на расстояние меньшее 1 см. Найдите площадь оставшейся части.
- Разрежьте правильный треугольник на 111 правильных треугольников.
- В равнобедренном треугольнике с углом 30^\circ при вершине сумма расстояний от некоторой точки основания до боковых сторон равна d. Найдите площадь треугольника.
- Приведите пример прямоугольника, который можно разрезать на нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Среди подобных треугольников могут быть и равные.
- В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и K – середины сторон BC и CD. Докажите, что если прямые AP и AK делят диагональ BD на три равных отрезка, то ABCD – параллелограмм.
- В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высота AH и биссектриса BF. Докажите, что если BFA=45º, то FHC=45 º.
- В выпуклом четырехугольнике ABCD точки S и T – середины сторон AB и CD соответственно, прямые AT и DS пересекаются в точке O. Точки пересечения прямых BO и CO со стороной AD разделили ее на три равные части. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
- Найдите произведение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника, если сумма его сторон в 3 раза больше их произведения.
- BD – биссектриса угла B треугольника ABC. Описанные окружности треугольников ABD и CBD пересекают стороны BC и BA в точках F и E соответственно. Докажите, что AE=CF.
- ABCD – равнобедренная трапеция, AD параллельно BC. N – точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AB с прямой BC. Оказалось, что AN и CD перпендикулярны. Найдите углы трапеции.
- AL и BM – биссектрисы треугольника ABC. Известно, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников ACL и BCM лежит на отрезке AB. Найдите угол ACB.
- В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, M и N – середины сторон BC и AD. Прямая MN пересекается с лучом AB в точке P, а с лучом DC в точке Q. Докажите, что PB=QC.
- Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника.
|