Планування експерименту в задачах перевірки гіпотез

Критерії значимості

Критерії значимості – це критерії, за допомогою яких перевіряються гіпотези про абсолютні значення параметрів чи про співвідношення між ними для генеральних сукупностей з відомої (з точністю до параметрів) функцією розподілу імовірностей. За допомогою різних критеріїв значимості можна: а) з'ясувати, чи не суперечать результати спостережень припущенню про те, що деякі з параметрів генеральної сукупності рівні цілком визначеним числам; б) якщо маються дві чи більша кількості вибірки, установити, чи існують об'єктивні підстави вважати, що вони є представниками однієї і тієї ж генеральної сукупності, чи ж експериментальні дані говорять про наявність невипадкових розходжень між вибірками, які свідчать про те, що вони витягнуті з різних генеральних сукупностей.

Розглянемо критерії значимості і довірчі інтервали. Якщо для теоретичного параметра генеральної сукупності Θ побудовано довірчий інтервал з рівнем значимості q, то цей інтервал можна застосувати для перевірки гіпотези щодо параметра Θ, якщо характер альтернативної гіпотези такий, що повинен бути використаний двосторонній критерій. Якщо гіпотетичне значення Θ0 попадає всередину довірчого інтервалу, нульова гіпотеза приймається з рівнем значимості q; якщо ж Θ0 лежить поза довірчим інтервалом, нульова гіпотеза відкидається.

Приклад 3.9. Нехай у прикладі 2.11 потрібно додатково перевірити гіпотези: Н0: m = 10 і Н1: m ≠ 10. Так як гіпотетичне значення попадає всередину 95%-ного довірчого інтервалу, нульова гіпотеза повинна бути прийнята з рівнем значимості 0,05. Якби перевірялися гіпотези m = 0 і Н1: m ≠ 10, то Н0 варто було б відкинути, оскільки значення, що перевіряється, знаходиться поза довірчим інтервалом.

Планування експерименту в задачах перевірки гіпотез

Рішення в даному випадку зводиться до визначення необхідного обсягу вибірки, який можна однозначно визначити, якщо зазначені:

1) припустимі значення імовірностей помилок першого і другого родів q і β;

2) відхилення d досліджуваного параметра Θ від гіпотетичного значення Θ0: d = Θ - Θ0, що бажано знайти в результаті перевірки.

Розглянемо цю задачу для найпростішого випадку перевірки гіпотез Н0: m = m0 і Н1: m > m0 з рівнем значимості q. Відповідно до табл. 3.2 (критерій №3) границя критичної області gкр визначається співвідношенням:

(3.1)

Нехай дослідник бажає відрізнити один від одного два можливих значення математичного очікування m0 і m1>m0. Імовірність помилки другого роду β, якщо гіпотеза Н0 невірна (mХ = m1), але приймається, задається положенням gкр відносно m1. За допомогою рис. 3.6 легко знайти, що:

(3.2)

Віднімаючи (3.2) від (3.1), одержуємо:

(3.3)

і, отже:

, (3.4) де d0 — величина розбіжності між m1 і m0, яку треба знайти, у відносному масштабі:

(3.5)

Рисунок 3.6 - До визначення розміру вибірки.

Природньо, що одержуване значення N повинно бути округлене до найближчого більшого цілого числа.

Формула (3.4) справедлива і для випадку, коли m1<m0 (№ 2 по табл. 3.2). Якщо використовується двосторонній критерій (№ 1 по табл. 3.2), то всі міркування лише не набагато складніші вищенаведених.

Приклад 3.10. Досліджується міцність металу на розрив. Визначити необхідне число дослідів для виявлення зростання міцності, рівного половині середньоквадратичного відхилення.

Оскільки які-небудь додаткові вимоги відсутні, задамося q = β = 0,05. За умовою d0 = 0,5. За допомогою таблиць нормального розподілу знаходимо . Тоді N = 43, отже, для рішення поставленої задачі необхідно провести 43 досліду.

Для ряду критеріїв побудовані графіки, що дозволяють за заданим значенням q, β і d0 визначити необхідний обсяг N вибірки. Зразки таких графіків (q = 0,05; β = 0,05), запозичені з [14], де маються також аналогічні графіки для q = 0,05; q = 0,01; β = 0,05; β = 0,10 ; β = 0,20; β = 0,50, представлені на рис. 3.7.

Рисунок 3.7 - Графіки обсягів вибірки, необхідні для перевірки гіпотез щодо значень математичних очікувань

q = 0,05; β = 0,05; 1 – для критерію №1 табл. 3.2. 2 - для № 4; 3 - для № 18; 4 - для № 21; 5 - для № 2, 3; 6 - для № 5, 6; 7 - для № 19, 20; 8 - для № 22, 23. Для критеріїв № 1-6: ; для критеріїв № 18-23: ;

Відзначимо, що для критеріїв № 4-6 і № 21-23 відхилення d0 виражаються стосовно σ, хоча вона невідома. Як правило, необхідність завдання d0 у відносних одиницях не є серйозним обмеженням застосовності даної методики визначень необхідного обсягу вибірки, оскільки найчастіше значення d0 задається виходячи з загальних розумінь про властивості досліджуваного об'єкта і ступеня мінливості випадкової величини. Якщо ж такий підхід виявляється незадовільним, для критеріїв № 4-6 існує інший метод визначення N шляхом завдання параметра , де SХ обчислюється за результатами допоміжного експерименту з N* дослідів [14].

Графіки 1, 5 рис. 3.7 можна використовувати і для перебування N при перевірці гіпотез щодо значень коефіцієнта кореляції за допомогою критеріїв № 24–26. При цьому d0 = Zρ1–Zρ0, де ρ1 і ρ0 – конкуруючі значення коефіцієнта кореляції, а для визначення N треба до числа, знайденого за графіком, додати 3.

Приклад 3.11. Нехай потрібно розрізнити два значення коефіцієнта кореляції ρ0 = -0,3 і ρ1 = 0,3 при q = 0,05 і β = 0,05. Вибрати необхідний для цього обсяг вибірки. За допомогою таблиць Z-перетворення Фішера [8] знаходимо

;

. Так як критерій, який варто тут використовувати, однобічний (№ 26 по табл. 3.2), то за допомогою графіка 5 рис. 3.7 знаходимо відповідне даному значенню d0 число: 26. Тоді N = 29.

Визначення необхідної кількості спостережень N для критеріїв № 7–12 і № 13–15 може вироблятися за допомогою таблиць так званих нецентральних

- і F-розподілів [9, 10], що, загалом, досить складно. Однак для найбільш розповсюджених на практиці ситуацій, коли використовуються однобічні критерії (№ 8, 9, 11, 12, 14, 15 по табл. 3.2), є прості формули, що дозволяють легко знайти N. Якщо потрібно перевірити гіпотези Н0:

і Н1:

і при цьому з заданою надійністю розрізнити значення

, причому

(

), то необхідне число спостережень визначається в такий спосіб: за допомогою таблиці

- розподілу знаходиться таке число ступенів вільності ν, для якого справедливо

;

. (3.6) Якщо ж необхідно розрізнити такі

, що

, то значення ν знаходиться аналогічним чином за допомогою співвідношень

;

. (3.7) В обох випадках N = ν для критеріїв № 8, 9 і N = ν +l для критеріїв № 11, 12.

Приклад 3.12. Провіряються гіпотези Н0:

; Н1:

при q = 0,1. Якщо в дійсності

, де

, то бажано, щоб гіпотеза Н0 була відкинута з ймовірністю 0,9 (тобто β = 0,1). Скільки спостережень повинно провестись для виконання цієї задачі? Послідовно перебираючи з допомогою таблиці

- розподілу співвідношення виду

, переконуємось, що при

маємо

, а при

. Відповідно, нас задовільняє значення

і для вирішення задачі необхідно провести 29 спостережень, якщо mX відоме, і 30 спостережень, якщо mX оцінюється. Для критеріїв № 14, 15 по табл. 3.2 спосіб перебування необхідної кількості спостережень N відрізняється лише тим, що використовуються таблиці F-розподілу. Нехай потрібно перевірити гіпотези Н0:

і Н1:

однобічним критерієм на рівні значимості q (випадок альтернативи

зводиться до розглянутого зміною індексів 1 і 2). Потрібно, щоб імовірність відхилення гіпотези, що перевіряється, була б щонайменше рівна 1 – β, як тільки

. Для виконання цієї вимоги необхідно використовувати вибірки обсягу

, де ν1 і ν2 знаходяться за допомогою наближеного співвідношення

. (3.8) Задача полегшується, якщо вибірки, по яких визначаються оцінки

, однакового обсягу, тобто,

= і ν1 = ν2 = ν. У цьому випадку значення знаходиться з умов

. (3.9.1)

. (3.9.2) Якщо до того ж q = β, умови (3.9) спрощуються ще більше:

; (3.10.1)

. (3.10.2)

Приклад 3.13. Дослідним шляхом порівнюється точність двох методів А і В, для чого проводиться N вимірів одного і того ж об’єкту обома методами [12]. С допомогою F-критерію провіряється гіпотеза про те, що точність методів однакова, тобто

. Очікується, що метод А буде більш точним, і значить

. Хоч метод В може бути менш точним, але він набагато простіший і швидший, і тому недоцільно вводити метод А, якщо його точність незначно перевищує точність методу В. Тому потрібно використати такий критерій, щоб ймовірність відхилення гіпотези

, якщо вона вірна, була б не більшою, наприклад 0,05. Але якщо стандартне відхилення

в 2 рази менше

, вигода отримана від точності методу А, перекриє його негативні сторони. Тому необхідно, щоб в такій ситуації критерій встановив переваги метода А і відхилив гіпотезу

з великою ймовірністю, скажемо, 0,95. Яка кількість спостережень повинна бути проведена виходячи з даних умов? Для пробірки гіпотези Н0:

і Н1:

використовуємо односторонній F-критерій (№ 14 по табл. 3.2) на рівні значимості q = 0,05; по умові 1 – β = 0,95; β = 0,05 і d0 =

. Послідовно перебираючи різні табличні значення F-розподілу, отримуємо

і в відповідності з умовами (3.10) знаходимо ν = 24. Відповідно, для того, щоб критерій задовольняв виставлені йому вимоги необхідно виконати кожним із методів 25 спостережень. Формули (3.6) – (3.9) можна використовувати для наближеного визначення необхідного N у випадку двосторонніх критеріїв (№ 7, 10 і 13), якщо в цих формулах замість q скрізь записати q/2.

⇐ Предыдущая 12