Задача о двух балках

Для изображенной на Рис.1 расчетной схемы:

1. Записать дифференциальное уравнение нейтральной линии и определить прогиб балки . Построить эпюры перерезывающих сил, моментов, углов поворотов и прогибов.

2. Определить аналитически, если это возможно, координату , для которой прогиб достигает максимального значения по модулю.

3. В точке максимального прогиба подкрепить конструкцию другой двухопорной балкой той же длины что и исходная так, чтобы минимизировать максимальное перемещение.

4. Записать дифференциальные уравнения упругой линии для системы балок. Определить прогибы и . Провести сравнение максимального прогиба для одной балки и системы балок. Сделать выводы.

5. Провести расчет на прочность для исходной балки. С помощью полученных размеров сечения, определить максимальный прогиб в [мм] как для исходной расчетной схемы, так и для системы балок.

Рис.1

Решение задачи:

Определим реакции в опорах :

Решая систему, получим:

Далее будем записывать изгибающий момент в системе координат, связанной с левым концом балки:

Участок :

H Hiil5rnj/eLdUwD9TvLOKLx7oyD9B7yll0qj3/3TY/1+Xh5V3f9OePA/AAAA//8DAFBLAwQUAAYA CAAAACEAFHELseAAAAAKAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQWuDQBCF74X+h2UKvTWrBk1j XEMIbU+h0KRQctvoRCXurLgbNf++01NzHN7Hm+9l68m0YsDeNZYUhLMABFJhy4YqBd+H95dXEM5r KnVrCRXc0ME6f3zIdFrakb5w2PtKcAm5VCuove9SKV1Ro9FuZjskzs62N9rz2Vey7PXI5aaVURAk 0uiG+EOtO9zWWFz2V6PgY9TjZh6+DbvLeXs7HuLPn12ISj0/TZsVCI+T/4fhT5/VIWenk71S6USr IIqTiFEOkgUIBuLlkrecOFnMA5B5Ju8n5L8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA 4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA OP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA AVw0G2sJAADlMAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAA ACEAFHELseAAAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAADFCwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAE AAQA8wAAANIMAAAAAA== ">

Рис.2

Участок :

Рис.3

В выражении распределенная нагрузка засписана в предположении, что она ее область приложения при . Т.к. это не соответствует реальной расчетной схеме, на следующем участке будем прикладывать дополнительную, компенсирующую силу:

Рис.4

Участок

Для записи уравнений моментов на участке будем компенсировать несуществующую в исходной схеме на Рис.1 распределенную нагрузку (синий цвет) равной ей по величине (красной цвет).

Рис.5

Участок

Рис.6

Участок :

Формулы - позволяют записать изгибающий момент в виде:

Эпюра моментов:

Запишем уравнение упругой линии балки:

Проинтегрировав , получим угол поворота и прогиб :

Константы инегрирования получим из условия закрепления балки:

Изобразим упругую линию балки и угол поворота :

Из эпюры видно, что максимальный прогиб соответствует участку .

Определим координату максимального прогиба из условия:

Из получаем . Подставляя это значение в получаем значение максимального прогиба: .

Задача о двух балках

Будем минимизировать максимальный прогиб в точке путем подкрепления в рассматриваемой точке двухопорной балкой такой же длины. Жесткость второй балки в два раза превышает жесткость первой балки: :

Рис.2

Будем предполагать, что балка «2» пересекается с первой балкой ровно посередине. Т.к. максимальные прогибы первой балки отрицательны, вторая балка будет расположена снизу:

Данная задача приводится к системе двух балок со следующими расчетными схемами:

Рассмотрим балку «2»:

Из определим :