Лабораторная работа №7. Аппроксимация и интерполяция функций»

Лабораторная работа №7

«Аппроксимация и интерполяция функций»

Цель работы: Познакомиться с методами и алгоритмами решения задач дискретной аппроксимации и интерполяции функций, приобрести умения и навыки разработки математического обеспечения на основе реализации изученных численных методов.

Рассматриваемые объекты: приближаемые функции, методы и алгоритмы дискретной аппроксимации и интерполяции функций, компьютерные инструментальные средства программной реализации алгоритмов и методов, компьютерные средства автоматизации решения вычислительных задач, графические компьютерные средства визуализации результатов работы.

Практическая часть

Написать программный модуль интерполяции точечно задаваемой функции с помощью стандартного интерполяционного полинома (Лагранжа или Ньютона).
Реализовать метод наименьших квадратов для аппроксимации таблично заданной функции – результата эксперимента.
С помощью встроенных функций СКМ реализовать линейную и полиномиальную регрессии, аппроксимацию линейной комбинацией линейно независимых функций и нахождение некоторых приближающих функции с нелинейной зависимостью от параметров.
С помощью графических компьютерных средств организовать визуализацию всех реализованных приближающих функций, отражающую качество приближений.
Выполнить анализ и сравнение результатов, полученных различными способами и методами. Для каждой аппроксимирующей функции рассчитать коэффициент или индекс корреляции. Результаты работы оформить в виде отчета.

Задание для лабораторной работы №7

Задание 1. Построить по имеющимся данным (табл.1) интерполяционный многочлен Лагранжа (п.1) и, используя его, найти значение функции в точке x. Построить графическую иллюстрацию интерполирования (п.4).

Таблица 1

1.		2.		3.
x	y	x	y	х	y
0,43	1,63597	0,43	1,63597	0,43	1,63597
0,48	1,73234	0,48	1,73234	0,48	1,73234
0,55	1,87686	0,55	1,87686	0,55	1,87686
0,62	2,03045	0,62	2,03045	0,62	2,03045
0,70	2,22846	0,70	2,22846	0,70	2,22846
0,75	2,35973	0,75	2,35973	0,75	2,35973
в точке x = 0,702		в точке x = 0,512		в точке x = 0,645
4.		5.		6.
x	y	х	y	х	y
0,43	1,63597	0,02	1,02316	0,35	2,73951
0,48	1,73234	0,08	1,09590	0,41	2,30080
0,55	1,87686	0,12	1,14725	0,47	1,96864
0,62	2,03045	0,17	1,21483	0,51	1,78776
0,70	2,22846	0,23	1,30120	0,56	1,59502
0,75	2,35973	0,30	1,40976	0,64	1,34310
в точке x = 0,608		в точке x = 0,203		в точке x = 0,482

7.		8.			9.
x	y	х	y		х	y
0,02	1,02316	0,35	2,73951		0,41	2,57418
0,08	1,09590	0,41	2,30080		0,46	2,32513
0,12	1,14725	0,47	1,96864		0,52	2,09336
0,17	1,21483	0,51	1,78776		0,60	1,86203
0,23	1,30120	0,56	1,59502		0,65	1,74926
0,30	1,40976	0,64	1,34310		0,72	1,62098
в точке x = 0,102		в точке x = 0,436			в точке x = 0,616
10.		11.			12.
x	y	х		y	х	y
0,02	1,02316	0,35		2,73951	0,41	2,57418
0,08	1,09590	0,41		2,30080	0,46	2,32513
0,12	1,14725	0,47		1,96864	0,52	2,09336
0,17	1,21483	0,51		1,78776	0,60	1,86203
0,23	1,30120	0,56		1,59502	0,65	1,74926
0,30	1,40976	0,64		1,34310	0,72	1,62098
в точке x = 0,114		в точке x = 0,552			в точке x = 0,487
13.		14.			15.
x	y	х		y	x	y
0,02	1,02316	0,35		2,73951	0,41	2,57418
0,08	1,09590	0,41		2,30080	0,46	2,32513
0,12	1,14725	0,47		1,96864	0,52	2,09336
0,17	1,21483	0,51		1,78776	0,60	1,86203
0,23	1,30120	0,56		1,59502	0,65	1,74926
0,30	1,40976	0,64		1,34310	0,72	1,62098
в точке x = 0,285		в точке x = 0,526			в точке x = 0,665

16.		17.			18.
х	y	х	y		х		y
0,41	2,57418	0,68	0,80866		0,11		9,05421
0,46	2,32513	0,73	0,89492		0,15		6,61659
0,52	2,09336	0,80	1,02964		0,21		4,69170
0,60	1,86203	0,88	1,20966		0,29		3,351069
0,65	1,74926	0,93	1,34087		0,35		2,73951
0,72	1,62098	0,99	1,52368		0,40		2,36522
в точке x = 0,537		в точке x = 0,774			в точке x = 0,275

16.		17.		18.
х	y	х	y	х		y
0,41	2,57418	0,68	0,80866	0,11		9,05421
0,46	2,32513	0,73	0,89492	0,15		6,61659
0,52	2,09336	0,80	1,02964	0,21		4,69170
0,60	1,86203	0,88	1,20966	0,29		3,351069
0,65	1,74926	0,93	1,34087	0,35		2,73951
0,72	1,62098	0,99	1,52368	0,40		2,36522
в точке x = 0,537		в точке x = 0,774		в точке x = 0,275
19.		20.		21.
x	y	х	y.	х	y
0,68	0,80866	0,11	9,05421	0,05	0,050042
0,73	0,89492	0,15	6,61659	0,10	0,100335
0,80	1,02964	0,21	4,69170	0,17	0,171657
0,88	1,20966	0,29	3,351069	0,25	0,255342
0,93	1,34087	0,35	2,73951	0,30	0,309336
0,99	1,52368	0,40	2,36522	0,36	0,376403
в точке x = 0,896		в точке x = 0,314		в точке x = 0,263
22.		23.		24.
x	y	х	y	x	y
0,68	0,80866	0,11	9,05421	0,68	0,80866
0,73	0,89492	0,15	6,61659	0,73	0,89492
0,80	1,02964	0,21	4,69170	0,80	1,02964
0,88	1,20966	0,29	3,351069	0,88	1,20966
0,93	1,34087	0,35	2,73951	0,93	1,34087
0,99	1,52368	0,40	2,36522	0,99	1,52368
в точке x = 0,715		в точке x = 0,235		в точке x = 0, 955

25.		26.		27.
x	y	x	y	x	y
0,11	9,05421	0,51	9,05421	0,115	5,05421
0,15	6,61659	0,55	6,61659	0,159	4,61659
0,21	4,69170	0,61	4,69170	0,218	3,69170
0,29	3,351069	0,69	3,35106	0,294	2,35106
0,35	2,73951	0,75	2,73951	0,353	1,73951
0,40	2,36522	0,80	2,36522	0,408	0,36522
в точке x = 0,332		в точке x = 0,7491		в точке x = 0,256
28.		29.		30.
х	y	х	y	х	y
0,41	2,57418	0,68	0,80866	0,11	9,05421
0,46	2,32513	0,73	0,89492	0,15	6,61659
0,52	2,09336	0,80	1,02964	0,21	4,69170
0,60	1,86203	0,88	1,20966	0,29	3,351069
0,65	1,74926	0,93	1,34087	0,35	2,73951
0,72	1,62098	0,99	1,52368	0,40	2,36522
в точке x = 0,437		в точке x = 0,9475		в точке x = 0,3535

Задание 2. Спомощью метода наименьших квадратов программно реализовать аппроксимацию таблично заданной функции (табл.2) полиномами 1,2 или 3 степени (п.2). Сравнить полученные результаты с реализацией линейной и полиномиальной регрессии встроенными возможностями СКМ. Построить графики получившихся зависимостей и табличных значений аргументов и функции. Выполнить п.3-5 практической части. Определив индексы корреляции всех приближающих функций, сделать выводы.

Таблица 2. Набор экспериментальных данных значений x и y.

1.	x	1,20		1,57		1,94		2,31	2,68			3,05		3,42			3,79
	y	2,59		2,06		1,58		1,25	0,91			0,66		0,38			0,21
2.	x	1,73		2,56		3,39		4,22	5,05			5,89		6,70			7,53
	y	0,63		1,11		1,42		1,94	2,30			2,89		3,29			3,87
3.	x	-4,38		-3,84		-3,23		-2,76	-2,22			-1,67		-1,13			-0,60
	y	2,25		2,83		3,44		4,31	5,29			6,55		8,01			10,04
4.	x	1,00		1,64		2,28		2,91	3,56			4,19		4,84			5,48
	y	0,28		0,19		0,15		0,11	0,09			0,08		0,07			0,06
5.	x	5,84		3,82		6,19		9,22	7,87			6,29		4,43			8,91
	y	79,31		57,43		60,66		92,55	90,12			71,30		70,50			91,25
6.	x	2,91		2,94		6,35		6,58	3,80			6,43		0,57			5,96
	y	82,16		61,02		44,56		82,52	99,17			70,24		63,23			66,48
7.	x	5,46		2,73		6,49		4,26	2,39			6,46		0,86			2,05
	y	65,72		58,05		60,05		55,79	50,83			47,69		44,49			59,74
8.	x	1,28		1,76		2,24		2,72	3,20			3,68		4,16			4,64
	y	2,10		2,62		3,21		3,96	4,98			6,06		7,47			9,25
9.	x	-4,84		-4,30		-3,76		-3,22	-2,68			-2,14		-1,60			-1,06
	y	-0,09		-0,11		-0,13		-0,16	-0,19			-0,26		-0,39			-0,81
10.	x	3,54		4,29		4,78		3,99	1,13			6,29		1,89			3,27
	y	22,81		28,42		24,95		26,96	8,78			33,55		15,77			22,89
11.	x	4,08		4,42		2,52		0,08	2,14			3,36		7,35			5,00
	y	18,31		21,85		16,93		8,23	10,90			17,18		36,45			24,11
12.	x	1,16		1,88		2,60		3,32	4,04			4,76		5,48			6,20
	y	0,18		0,26		0,32		0,36	0,40			0,43		0,95			0,85
13.	x	1,00		1,71		2,42		3,13	3,84			4,55		5,26			5,97
	y	12,49		4,76		2,55		1,60	1,11			0,82		0,63			0,50
14.	x	-0,64		-0,36		-0,08		0,20	0,48			0,76		1,04			1,32
	y	29,51		18,86		12,05		7,70	4,92			3,14		2,01			1,28
15.	x	-2,45		-1,94		-1,43		-0,92	-0,41			0,10		0,61			1,12
	y	0,87		1,19		1,68		2,23	3,04			4,15		5,66			7,72
16.	x	1,54		1,91		2,28		2,65	3,02			3,39		3,76			4,13
	y	-2,52		-3,08		-3,54		-3,93	-4,27			-4,57		-4,84			-5,09
17.	x	1,20		2,00		2,80		3,60	4,40			5,20		6,00			6,80
	y	-10,85		-6,15		-4,14		-3,02	-2,30			-1,81		-1,45			-1,17
18.	x	-1,04		-0,67		-0,30		0,07	0,44			0,81		1,18			1,55
	y	10,80		8,08		5,97		4,44	3,31			2,46		1,83			1,36
19.	X	0,41		0,97		1,53		2,09	2,65			3,21		3,77			4,33
	Y	0,45		1,17		1,56		1,82	2,02			2,18		2,31			2,44
20.	x	3,80		0,25		0,48		5,78	4,91			1,56		0,91			5,73
	y	-19,23		-21,41		-9,90		-19,56	-0,30			-12,04		1,14			11,26
21.	x
	y			7,45		8,24		12,46	13,09			14,56		25,89			29,91
22.	x
	y	29,8		22,9		17,1		15,16	10,7			10,2		10,1			25,2
23.	x	1,65		1,39		1,19		1,02	0,82			0,75		0,66			0,89
	y	1,034		1,232		1,432		1,752	2,056			2,37		2,76			3,198
24.	x	0,22		-3,05		-1,76		-1,25	-0,45			-0,80		-0,26			-3,07
	y	58,46		36,05		31,17		16,17	11,16			69,23		58,08			43,13
25.	x	7,03		5,98		7,10	6,92			6,69			3,66		7,60			3,61
	y	18,93		-22,13		-10,07	20,5			7,09			4,04		-20,78			-12,98
26.	x	6,35		6,58		3,80	6,43			0,57			5,96		3,40			4,55
	y	44,56		82,52		99,17	70,2			63,23			66,48		48,35			40,24
27.	x	6,35		6,58		3,80	6,43			0,57			5,96		3,40			4,55
	y	44,56		82,52		99,17	70,2			63,23			66,48		48,35			40,24
28.	x	2,95		2,60		2,69	3,01			2,44			2,51		3,37			2,98
	y	113,8		119,66		106,28				107,43			114,8		115,53			117,4
29.	x	6,06		7,20		5,62	7,01			5,73			6,98		6,06			6,32
	y	113,8		119,66		106,28	120,6			107,43			114,8		115,53			117,4
30.	x	5,59		5,66		5,30	5,57			5,48			5,37		5,41			5,61
	y	113,8		119,56		105,32	119,6			100,5			114,8		115,53			117,9
31.	x	4,23		1,40		4,07	2,93			3,44			1,09		1,82			2,43
	y	65,72		58,05		60,05	55,79			50,83			47,69		44,49			59,74
32.	x	4,07		2,93		3,44	1,09			1,82			2,43		3,85			0,97
	y	60,05		55,79		50,83	47,69			44,49			59,74		56,81			45,82
33.	x	4,33		4,59		4,21	3,78			4,23			5,61		4,87			3,87
	y	60,05		55,79		50,83	47,69			44,49			59,74		56,81			45,82
34.	x	8,90		9,22		8,74	8,98			8,77			9,31		8,81			9,14
	y	105,2		85,02		52,76	56,86			72,19			61,09		70,44			51,67
35.	x	6,63		7,15		2,96	1,73			7,44			3,70		2,00			2,63
	y	105,2		85,02		52,76	56,86			72,19			61,09		70,44			51,67
36.	x	8,70		5,36		1,89	3,01			3,59			2,64		4,77			1,60
	y	105,2		85,02		52,76	56,86			72,19			61,09		70,44			51,67
37.	x	2,51		3,74		8,70	5,36			1,89			3,01		3,59			2,64
	y	55,65		67,68		105,2	85,02			52,76			56,86		72,19			61,09
38.	x	9,11	9,95		8,90		9,22				8,74		8,98			8,77			9,31
	y	55,65	67,68		105,20		85,02				52,76		56,86			72,19			61,09
39.	x	-2,25	1,90		0,19		-0,50				-1,09		0,94			-0,13			-0,50
	y	-19,2	-21,41		-9,90		-19,56				-0,30		-12,04			1,14			11,26
40.	x	-4,95	-4,50		-2,29		-5,50				-1,50		-2,98			-0,23			0,57
	y	-19,3	-21,41		-9,90		-19,56				-0,30		-12,04			1,14			11,26