Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Прямые

Перпендикулярные прямые в пространстве – две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90º.

Прямая и плоскость

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. См.Рис.1.

Рис.1

Перпендикулярные прямые обозначаются: a⊥b.

Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Свойства прямых, перпендикулярных плоскости: См.Рис.2.

Рис.2

Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Теорема о трех перпендикулярах. Наклонная к плоскости перпендикулярна к прямой, лежащей в этой плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой. См.Рис.3.

Рис.3

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Плоскости

Признак перпендикулярности двух плоскостей:

Если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.