Выпуклый многоугольник. Задача. Решение. Задача 2.. Решение

Выпуклый многоугольник

Задача

Решение

Построим область допустимых решений задачи. Для этого в прямоугольной системе координат построим прямую, соответствующую первому неравенству системы:

I: .

Находим, какая из двух полуплоскостей, на которые эта прямая разбивает координатную плоскость, является областью решения неравенства. Для этого достаточно подставить координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, в неравенство. Например, подставим координаты точки .

Получаем верное строгое неравенство

Следовательно, точка лежит в полуплоскости решений, заштрихуем эту полуплоскость. Аналогично строим прямые II: , III: и области решений соответствующих неравенств. Находим общую часть полуплоскостей решений, учитывая при этом условия неотрицательности переменных (рис. 5).

Определим координаты точки А, решив систему уравнений

Аналогично находим другие точки многоугольника.

Задача 2.

Решить систему с помощью метода Жордана–Гаусса.(на функцию не обращаем внимание)

Решение

Методом Жордана–Гаусса приведем систему уравнений-ограничений к равносильной разрешенной.

Запишем коэффициенты и свободные члены уравнений данной системы и целевой функции в следующую таблицу:


–1
	–1	–2	–2

За разрешающий элемент возьмем коэффициент при в первом уравнении. Перепишем без изменения строку таблицы, содержащую этот элемент (разрешающую строку), а все элементы второго столбца, кроме разрешающего, заменим нулями. Остальные клетки таблицы заполняем элементами, преобразованными по правилу прямоугольника. Для определения нового элемента рассмотрим четыре элемента таблицы: (элемент, подлежащий преобразованию), (разрешающий элемент) и элементы и . Для нахождения элемента следует из элемента вычесть произведение элементов и , расположенных в противоположных вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент :

	………………
: :		: :
	………………

В результате получаем таблицу:


–1

За разрешающий элемент возьмем коэффициент при во втором уравнении. Действуя аналогично, получим таблицу:

Отбросим в уравнениях-ограничениях неотрицательные разрешенные неизвестные , и заменим знаки равентсва знаками неравенства « », получим вспомогательную задачу линейного программирования с двумя переменными

Построим многоугольник (рис. 6).

Одно из решений нашей задачи