Задачи к § 2. Медианы

Задачи к § 2. Медианы

105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны.

а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB;
б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

106. Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

а) Докажите, что AABD = AECD;
б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

108. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.

109. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.

110. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

111. На рисунке 65 CD = BD, ∠1 =∠2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

112. На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1 = 130°. Найдите ∠2.

113. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ.

а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM;
б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.