Занятие №95-96.. Тема: Площадь криволинейной трапеции. Интеграл.. Теоретический материал для самостоятельного изучения

Занятие №95-96.

Тема: Площадь криволинейной трапеции. Интеграл.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции (рисунок 1)

Формула Ньютона – Лейбница.

Функцию f(x) называют подинтегральной функцией, значения а и b- пределами интегрирования (а – нижний, b – верхний пределы, b > а). такой интеграл называется определённым.

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Итак, геометрический смысл интеграла состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции.

Примеры:

№1.

Решение; на рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная линиями у= , х=1, х=3 и отрезком оси абсцисс.

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона-Лейбница, надо найти первообразную подинтегральной функции и, подставляя вместо х сначала верхний, а затем нижний пределы, найти приращение первообразной:

№2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b) - F(а), это и будет ответ.

Самостоятельно: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у= , х=1, х=2, у=0, сделав рисунок.