Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Решение.. Примечание

1.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?

Решение.

Цена бензина составляет 28 · 28,5 = 798 руб. Поэтому причитающаяся сдача 1000 − 798 = 202 рубля.

Ответ: 202.

2.На диаграмме показан средний балл участников из 10 стран в тестировании учащихся 8-го класса по математике в 2007 году (по 1000-балльной шкале). Среди указанных стран второе место принадлежит США. Определите, какое место занимает Швеция.

Решение.

Расположим страны в порядке убывания средних баллов.

1) Германия

2) США

3) Австралия

4) Швеция

5, 6) Норвегия, Великобритания

7) Болгария

8) Румыния

9) Тунис

10) Индонезия

Швеция находится на четвёртом месте.

Ответ: 4.

3. Найдите диагональ параллелограмма , если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение.

Продолжим сторону CD на две клетки вниз до точки Е (см. рисунок). Треугольник АCЕ прямоугольный, по теореме Пифагора

Ответ: 5.

4.Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

5.Найдите корень уравнения

Решение.

Возведем в квадрат:

Ответ: 35.

6. Сторона правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Ответ: 0,5.

Примечание

Другой способ решения состоит в использовании формулы, выражающей радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через его сторону:

7.На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции в точке x₀.

Решение.

Найдём значение Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Тогда искомое значение

Ответ: 0,75.

8. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Решение.

Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

Ответ: 12.

9.Найдите значение выражения

Решение.

Используем формулу синуса двойного угла :

Ответ: 2.

10.Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где t — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства при заданных значениях параметров и :

Учитывая то, что время — неотрицательная величина, получаем Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.

Ответ: 20.

11.Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Решение.

Пусть км/ч — собственная скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна км/ч, а скорость лодки против течения равна км/ч. На весь путь лодка затратила (часов), отсюда имеем:

Таким образом, собственная скорость лодки равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

12.Найдите наибольшее значение функции

Решение.

Поскольку функция возрастающая, она достигает наибольшего значения в той точке, в которой достигает наибольшего значения выражение, стоящее под знаком логарифма. Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке в нашем случае — в точке −1. Значение функции в этой точке

Ответ: 4.

13.а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберём те, которые принадлежат отрезку

Это числа и

Ответ: а) б)

14.В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

Решение.

а) Пусть — середина ребра , — середина отрезка . В равнобедренных треугольниках и медианы и являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки , и лежат на одной прямой. Треугольник равнобедренный, так как треугольники и равны, а значит, = . В треугольниках и высотами служат отрезки и соответственно. Из того, что отрезок перпендикулярен отрезку и отрезку следует, что прямая перпендикулярна плоскости , но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые и перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость перпендикулярна плоскостям и , а потому искомый.

Найдём стороны треугольника .

Ясно, что и

В треугольнике имеем:

Из треугольника по теореме косинусов находим

Следовательно,

Из треугольника по теореме косинусов находим

Ответ:

15.Решите неравенство:

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

Ответ:

16.Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.

а) Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.

б) Пусть , , , Q — точка пересечения прямых KM и AB, а T — такая точка на отрезке PQ, что . Найдите QT .

Решение.

а) Поскольку и , треугольники и равнобедренные, причём — углы при их основаниях и . Значит, Следовательно, прямая параллельна прямой

б) Обозначим Тогда

По теореме Пифагора или откуда Значит,

Поскольку и четырёхугольник — прямоугольник, значит, Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом , поэтому

По теореме Пифагора

Обозначим Тогда

поэтому — биссектриса, а значит, и высота равнобедренного треугольника

Таким образом, — высота прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла, следовательно,

Ответ:

17.Зависимость количества Q (в шт., ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Затраты на производство Q единиц товара составляют рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей ( ) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Решение.

Поскольку прибыль фирмы составляет

(рублей).

Эта величина является квадратичной функцией от Q, а её максимум достигается при Значит, общая сумма налогов, собранных государством, будет равна рублей. Эта величина является квадратичной функцией от t, а её максимум достигается при

Ответ: 6000.

18.Найдите все значения а, при каждом из которых система

не имеет решений.

Решение.

Рассмотрим второе неравенство системы

Если , то неравенство, а значит, и система не имеет решений.

Если , то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы принимает вид

Если , то решением первого неравенства исходной системы — будут два луча с концами в точках Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где большее из чисел и , а значит система будет иметь решение.

Если , то, в случае первое неравенство исходной системы, а значит, и система не будет иметь решений. В остальных случаях решением первого неравенства исходной системы будет полуинтервал с концами в точках Отметим, что точки нет во множестве решений первого неравенства.

Для того, чтобы система в этом случае не имела решений необходимо и достаточно:

Учитывая случаи , получаем ответ.

Ответ:

19.В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

Решение.

а) Очевидно, что начиная со второй строчки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строчке не меньше, чем во второй и т.д., и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все время суммы возрастать не могут, в каких-то соседних строчках суммы совпадут, а тогда совпадут и сами строчки.

б) Докажем, что если в -ой строчке при число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем Действительно, для это очевидно, так как все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими Пусть в -ой строчке написано число а под ним написано число большее Тогда в -ой строчке написано чисел, равных Ясно, что в -ой строчке будет написано несколько групп одинаковых чисел, по в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что делится на то есть Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от а значит, по предположению индукции Итак, Наше утверждение доказано по индукции для всех Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем что невозможно.

в) Приведем такой пример:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 1488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В первой строчке 0 и 1 встречаются по одному разу, 2 — два раза, 4 — четыре раза, 8 — восемь раз, …., 256 — 256 раз, 488 — встречается 488 раз, в 11 строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488.