Сфера и шар. Уравнение сферы.

Сфера и шар. Уравнение сферы.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также является радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются центром, радиусом и диаметром шара.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(x₀; y₀; z₀) имеет вид

Уравнение сферы с центром в начале системы координат имеет вид: ,

Возможны три вида расположения плоскости и сферы.

1. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы ( ), то плоскость и сфера пересекаются и сечением сферы плоскостью является окружность.

2. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы ( ), то плоскость и сфера имеют только одну общую точку.

3. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы ( ), то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Теорема.Радиус сферы, проведённой в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Площадь сферы равна .

Пример 1.Напишите уравнение сферы радиуса и центром в точке А(2: 5; 9).

Решение.

Уравнение сферы имеет вид .

;

Ответ: .

Пример 2. Найдите площадь поверхности шара радиусом 66 см.

Решение.

Площадь шара равна .

(см²).

Ответ: см².

Домашнее задание.

№ 576. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке А, если:

а) А(2; -4; 7), R = 3; б) А(0; 0; 0), ; в) А(2; 0; 0), R = 4.

№ 585.Все стороны ромба, диагонали которогоравны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

№ 593. Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм; в) м; г) см.