Геометрия и алгебра. Разбор задач, используемых в тестах. Геометрия

Геометрия и алгебра

Разбор задач, используемых в тестах

Геометрия

Повторим решение задач 664, 670, 672, 661

664) Пусть точка О – центр окружности. Так как АВ хорда, то точка А лежит на окружности, и касательная АМ касается окружности в точке А. В зависимости от того, с какой стороны от точки А лежит точка М, угол МАВ может быть или острым, или тупым.

Рассмотрим сначала случай, когда он острый. Заметим, что при таком расположении точки М, дуга АВ, расположенная внутри угла МАВ, равна центральному углу АОВ, а угол МАО состоит из углов МАВ и ВАО.

В равнобедренном треугольнике АОВ (ОА и ОВ – радиусы) углы АВО и ВАО равны. Обозначим их величины за х. Тогда центральный угол АОВ (и значит дуга АВ) равен 180 -2х=2(90 -х). Так как угол МАО равен 90 (АМ – касательная) и состоит из углов МАВ и ВАО, то угол МАВ равен 90 -х. То есть он в два раза меньше центрального угла АОВ. Но это и значит, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

Ясно, что если угол МАВ тупой, то при введённых обозначениях (углы ВАО и АВО равны х) его величина будет равна 90 +х. Но теперь внутри угла МАВ расположена дуга АВ, дополнительная к той дуге, которая равна центральному углу АОВ. То есть её величина равна 360 -(180 -2х)=180 +2х=2(90 +х). Опять получаем, что она в два раза больше угла МАВ.

670) Пусть точка Р ближайшая из точек секущей к точке А. Рассмотрим треугольники QBA и PBA. Угол ABP, как было установлено в задаче 664, равен половине дуги BP, заключённой внутри угла ABP. Но угол PQB равен половине той же дуги по теореме о вписанном угле. То есть углы ABP и PQB равны. Заметим, что AQB и PQB – это один и тот же угол. Значит углы ABP и AQB равны. Угол PAB общий для треугольников QBA и PBA. Получаем, что треугольники QBA и PBA подобны по двум углам. Следовательно, QB/BP=AB/AP=AQ/AB => (сравнивая вторую и третью дроби)

=> AB²=AP AQ.

672) Если построить касательную АМ, где М будет точкой касания, то в силу задачи 670, АМ²=АВ1 АС1 и АМ²=АВ2 АС2. Но это и значит, что

АВ1 АС1=АВ2 АС2.

661) Будем пользоваться обозначениями предыдущей задачи 672. То есть, нам нужно найти угол В1АВ2 (он же угол С1АС2), где В1В2 меньшая и ближайшая к точке А дуга (равная 52 ), а С1С2 (равная 140 ) – большая и дальняя.

Рассмотрим треугольник АВ1С2. Угол С2В1С1 – внешний угол треугольника. Поэтому он равен сумме углов В1С2В2 и В1АВ2. Значит, искомый угол В1АВ2 равен разности вписанных углов С2В1С1 и В1С2В2. Но по теореме о вписанном угле, угол С2В1С1 равен половине дуги С1С2, а угол В1С2В2 – половине дуги В1В2. Значит, угол В1АВ2 равен полуразности дуг С1С2 и В1В2, то есть (140 -52 )/2=44 .

Важно упоминание о том, что угол острый. Задачу в общем случае (719) можете решить самостоятельно (разделив нижнюю дугу и сам угол на две дуги и два угла).

Алгебра

1) Чтобы найти точки пересечения параболы y=ax²+bx+c с осями координат, надо найти точку пересечения этой параболы с осью ординат – она всегда существует и единственна, и с осью абсцисс – таких точек может не быть, а может быть две или одна.

Парабола пересекает ось ординат, когда х=0. Точка пересечения – (0, с).

Парабола пересекает ось ординат, если у=0. Значит, решаем уравнение: ax²+bx+c=0. Если решений нет, то парабола не пересекает ось, если решение одно – х₁, то единственная точка пересечения – (х₁, 0), если решений два – х₁ и х₂, то точки пересечения с осью абсцисс – (х₁, 0) и (х₂, 0).

Если одно из решений уравнения у=0 – х₁=0, то в точке (0, 0) парабола пересекает и ось абсцисс и ось ординат.

Рассмотрим примеры.

а)у=х²-7х+6

точка пересечения с осью ординат - (0. 6) (подставили х=0 в уравнение для у, у=0²-7 +6=6)

х²-7х+6=0 х₁=1, х₂=6 => точки пересечения с осью абсцисс – (1, 0) и (6, 0)

Всего точек пересечения с осями три: (0, 0), (1, 0), (6, 0).

б)у=-3х²+7х

х=0 => y=0 => (0, 0) – точка пересечения с осью ординат.

-3x²+7x=0 x₁=0, x₂=-7/3 => (0, 0) и (-7/3, 0) – точки пересечения с осью абсцисс.

Всего точек пересечения с осями две: (0, 0) и (-7/3, 0).

в) у=-х²=х-10

х=0 => y=-10 =>(0, -10) – точка пересечения с осью ординат.

-х²=х-10=0 b²-4ac=1-40=-39<0 => решений уравнения нет.

Всего одна точка пересечения с осями: (0, -10).

Возможны ещё варианты – рассмотрите их самостоятельно.

2) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, надо приравнять функции, решить полученное уравнение относительно х, затем по х найти у.

а) f₁(x)=5х²+3х-7, f₂(x)=-х²+х+1

5х²+3х-7=-х²+х+1 => 6x²+2x-8=0 x₁=1, x₂=-4/3 => y₁=f₁(1)=f₂(1)=1,

y₂= f₁(-4/3)=f₂(-4/3)=-19/9

Ответ: (1, 1), (-4/3, -19/9).