апреля 2020 г. (пятница)

24 апреля 2020 г. (пятница)

Дисциплина: Математика

Группа: № 74

Урок № 108

Тема: Экстремумы функции.

Цель: рассмотреть применение производной к нахождению экстремумов функций.

Литература: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин [и др.] – М.: Просвещение, 2012.

Материалы урока:

Пишем в конспектах:

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) f (x) = x⁸

Найдём критические точки функции: f ' (x) = 0

f ' (x) = ^¢= = ; = 0 Þ x = 0

Так как функция в точке х = 0 непрерывна, то функция возрастает на [0; + ¥); функция убывает на (– ¥; 0].

б) f (x) = x² – 7x + 5

Найдём критические точки функции: f ' (x) = 0

f ' (x) = (x² –7x + 5)' = 2x – 7; 2x – 7 = 0 Þ x = 3¸5

3,5

Так как функция в точке х = 3¸5 непрерывна, то функция возрастает на [3¸5; + ¥); функция убывает на (– ¥; 3¸5].

2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы:

а) f (x) = 2x³ – 24x

f ' (x) = (2x³ – 24x) ' = (2x³) ' – (24x) ' = 2·3x² – 24 = 6x² – 24 = 6(x² –4); f ' (x) = 0

6(x² – 4) = 0; 6(x + 2)(x – 2) = 0 Þ x = – 2 , x = 2

-2

Так как функция в точках х = – 2 и х = 2 непрерывна, то функция возрастает на (– ¥; – 2] и на [2; + ¥); функция убывает на (– 2; 2).

х_max= – 2 х_min= 2

точки

экстремума

у_max = f (– 2) = 2×(– 2)³ – 24×(– 2) = – 16 + 48 = 32 у_min = f (2) = 2×2³ – 24×2 = 16 – 48 = – 32

экстремумы функции

б) f (x) = 5х – sіn 3x

f ' (x) = (5x – sіn 3x) ' = 5 – 3cos 3x > 0 т.к. |cos x| £ 1

Итак, функция возрастает на (– ∞; + ∞), экстремумов нет.

в) f (x) = 2x³ – 4x² – 3

Найдём критические точки функции: f ' (x) = 0

f ' (x) = (2x³ – 4x² – 3)' = (2x³) ' – (4x²)' – (3) ' = 2·3x² – 4·2x – 0 = 6x² – 8x

6x² – 8x = 0 Þ 2x(3x – 4) = 0 Þ 2x = 0 или 3x – 4 = 0 Þ x = 0 или x =

4/3

D( f ) = R

Функция возрастает на (– ∞; 0] и на , убывает на .

х_max = 0; х_min = – точки экстремума

у_max = 2·0³ – 4·0² – 3 = – 3 и у _min= 2·(4/3)³ – 4·(4/3)² – 3 = – – экстремумы

функции.

3. Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции f (x) = x³ – 3x + 5

Найдём критические точки функции: f ' (x) = 0

f ' (x) = (x³ – 3x + 5)' = (x³)' – (3x)' + (5)' = 3x² – 3; 3x² – 3 = 0 Þ 3(x² –1) = 0 Þ x² – 1 = 0 Þ (x – 1)(x + 1) = 0 Þ x – 1 = 0 или x + 1 = 0 Þ x = 1 или x = –1

-1

х_max = – 1; х_min = 1 – точки экстремума

у_max = (–1)³ – 3·(–1) + 5 = –1 + 3 + 5 = 7; у _min = 1³ – 3·1 + 5 = 3 – экстремальные значения функции.

Домашнее задание: выучить определения на стр. 265-268.

ФОТОГРАФИРУЕМ И ОТСЫЛАЕМ ЕЛЕНЕ АНАТОЛЬЕВНЕ

ВСЕ ВЫПОЛНЕННЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ!!!!!!!!!!!!!!!!

Урок № 109

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Цель: рассмотреть применение производной к нахождению наибольшего и наименьшего значений функций.

Материалы урока:

Пишем в конспектах:

Если функция f (х) непрерывна на отрезке и имеет на нём конечное число критических точек, то она принимает своё наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f (х) на отрезке [a; b]:

1) Находим критические точки функции х₁, х₂ … х_n, т.е. решаем уравнение f ' (x) = 0.

2) Определяем критические точки, принадлежащие отрезку [a; b]: х₂ , х₁₂ , …

3) Находим значения функции в точках, указанных в пункте 2 и на концах [a; b]:

f (х₂) = А, f (х₁₂) = В, …, f (а) = С, f (b) = D.