|
|||
Закрепление нового материала
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен: Пример. Решить уравнение: . Решение. Найдем дискриминант: = 36 – 52 = -16. . Тогда . Ответ: Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет решения на множестве комплексных чисел. В ответе получаются два сопряженных комплексных числа. Это очень важный результат: теперь мы знаем, что абсолютно любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел. Подобное утверждение, известное под названием "основная теорема алгебры", было доказано Гауссом в конце XVIII века: любое алгебраическое уравнение п-й степени имеет п комплексных корней (при этом некоторые корни являются кратными). Эти результаты подчеркивают ту исключительную роль, которую играют комплексные числа в теории алгебраических уравнений. Так вот, в множестве комплексных чисел корень из -1 извлекается и очень хорошо! Вспомним знакомую нам формулу . Корень из -1= i, Исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение . Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения . Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению , или , следовательно, . Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С. Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать. Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: . Такие корни являются сопряженными комплексными корнями. Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, , , , Решим квадратное уравнение . Первым шагом определим дискриминант уравнения: В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня: – сопряженные комплексные корни Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня: , Найти корни квадратного уравнения Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности. Для удобства выпишем коэффициенты: Вычислим дискриминант: А вот и главное препятствие: Применение общей формулы извлечения корня осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде: Возведём обе части в квадрат: Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему: Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары: Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом: Не помешает промежуточная проверка: В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»: Находим корни, не забывая, кстати, что : Ответ: Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению : 1) Подставим : 2)Подставим : Таким образом, решение найдено правильно. 4. Закрепление нового материала Решить уравнения: 1. х2 + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0; 2. х2 + (1 – 2i) х – 2i = 0; 3. 5. Домашнее задание 1. Составить конспект на тему «Тригонометрическая форма записи комплексного числа»; 2. Решить уравнения: z^2-2z+5=0 z^2+3z+6=0 z^2-4z+25=0 3z^2-3z+3=0
|
|||
|