ЛЕКЦИЯ № 13. Вынужденные колебания осциллятора. Явление резонанса

ЛЕКЦИЯ № 13

5. Вынужденные колебания осциллятора

Реальные колебания – затухающие колебания. Чтобы амплитуда колебаний не уменьшалась (чтобы энергия не исчезала), нужен подвод энергии извне.

Чтобы колебания были гармоническими (с постоянной амплитудой), энергию осциллятору нужно сообщать периодически (по гармоническому закону):

или

Такие колебания называют вынужденными.

Для механического осциллятора:

(13-1)

Для электрических колебаний в последовательном колебательном контуре

(13-2)

Если обозначить

или

тогда можно записать

(13-3)

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (линейное, второго порядка, неоднородное).

Решением неоднородного дифференциального уравнения будет сумма двух слагаемых:

где q₁(t) – это решение однородного уравнения (дифференциального уравнения затухающих колебаний)

которое довольно быстро убывает до нуля;

q₂(t) – это частное решение уравнения (13-3) – уравнения гармонического колебания

(13-4)

Подставим (13-4) в (13-3) и воспользуемся методом векторных диаграмм:

так как

тогда

(13-5)

6. Явление резонанса

Из (13-5) видно, что амплитуда заряда , а, следовательно, и амплитуды тока и напряжения зависят от частоты внешнего воздействия , а точнее, от соотношения между и .

График зависимости имеет колоколообразный вид и называется резонансной кривой:

Зависимость от вынуждающего напряжения приводит к тому, что при некоторой (определенной для данного осциллятора) частоте достигает max.

Явление, при котором амплитуда вынужденных колебаний достигает max значения, называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

при значении знаменателя в (13-5) ® 0.

(13-6)

Пусть , тогда

, (13-7)

Изобразим полученный результат на векторной диаграмме:

Колебания силы тока в последовательном колебательном контуре опережают колебания напряжения на конденсаторе на и отстают от колебаний напряжения на катушке на .