Расчет погрешностей при косвенных методах измерений.

Расчет погрешностей при косвенных методах измерений.

Измерения бывают прямые и косвенные.

Прямыми называют измерения, при которых значение физического параметра находят непосредственно из опыта, с помощью тех или иных приборов, регистрирующих этот параметр (измерение длины линейкой, времени секундомером, температуры термометром). Однако не всегда и не все физические параметры можно измерить непосредственно с помощью приборов.

Косвенными называют измерения, когда исследуемый физический параметр вычисляется по известной формуле, связывающей этот параметр с данными прямых измерений других параметров (например, измерение плотности тела).

Допустим интересующий нас физический параметр L можно вычислить по формуле

L = f(X, Y, Z),

где X, Y , Z, . . . – истинные значения физических параметров, которые не зависят друг от друга и измеряются непосредственно.

В результате прямых измерений можно установить:

Тогда наилучшей оценкой параметра L является

Если погрешности прямых измерений ∆x, ∆y, ∆z, . . . невелики, то оценку погрешности ∆L можно рассчитать по формуле

где ∂f /∂X обозначает частную производную функции f по переменной X. (При вычислении частной производной по X параметры Y , Z и т.д. надо считать константами, смотри пример ниже.) Результат записывают в виде:

(1)

Если доверительные вероятности для погрешностей ∆x, ∆y, ∆z, . . . выбраны одинаковыми, то такой же будет и доверительная вероятность оценки (1).

Приведём пример расчёта погрешности косвенных измерений.

Пусть физическая величина L определена формулой

где параметры X, Y , Z были определены в результате прямых измерений: X = 13, 26 ± 0, 66; Y = 50, 10 ± 3, 51; Z = 4, 33 ± 0, 26.

Вычисляем среднее значение:

Находим производные:

; ;

Так как истинные значения параметров X, Y , Z неизвестны, вместо них подставляем соответствующие средние значения, полученные в результате измерений:

Вычисляем погрешность

Таким образом, можем записать: L = 2034 ± 276.