Шар и сфера.

Шар и сфера.

План

1. Сфера и шар

2. Сечения шара плоскостью. Плоскость, касательная к сфере

3. Уравнение сферы

4. Объем шара. Площадь сферы

Вопрос 1. Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на равном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности ACB вокруг своего диаметра AB.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.

Вопрос 2.Сечения шара плоскостью. Плоскость, касательная к сфере

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом.

Касательнойплоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Признак касательной плоскости. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Вопрос 3. Уравнение сферы

На рисунке все точки равноудалены от точки C, радиус CA соединяет центр с точкой на сфере.

Все расстояния от центра до любой точки на сфере одинаковы и равны радиусу. Используя формулу расстояния между точками с данными координатами, можно составить уравнение сферы:

Получим уравнение сферы с центром в точке радиусом R:

Вопрос 4. Объем шара. Площадь сферы

Выведем формулу для вычисления объёма шара. Для этого выберем ось OX так, чтобы начало оси совпадало с центром шара.

Тогда OC = R – радиус шара, а отрезок OM = x.

1. Рассмотрим сечение шара плоскостью – это круг с центром в точке M. Радиус этого круга найдём из прямоугольного треугольника OMC по теореме Пифагора:

2. Найдём площадь этого сечения :

3. Так как мы выразили площадь через x, то можем вычислить объём шара с помощью основной формулы объёма тела (объём тела равен интегралу от площади параллельного сечения).

Эту формулу можно преобразовать:

, где D – диаметр шара.

В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для нее непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки.

Площадь сферы рассчитывается по формуле: