Последовательность решения задачи

Расчет на прочность и жесткость при кручении круглого бруса

Цель работы – научиться строить эпюру крутящих моментов, выполнять проектный расчёт вала по условию прочности и условию жёсткости.

Последовательность решения задачи

1. Делим вал на участки, границами которых являются плоскости действия внешних скручивающих моментов. Трением в опорах и весом самого вала пренебрегаем.

2. Определяем внутренние силовые факторы на каждом участке вала. Для определения крутящих моментов в сечениях валов применяют метод сечений. Значение крутящего момента в сечении вала равно алгебраической сумме вращающих (скручивающих) моментов, действующих на оставленную его часть. Определённого правила знаков нет, им уславливаются. При решении конкретной задачи необходимо принимать один и тот же знак для вращающих моментов одного направления. Закон изменения крутящих моментов по длине вала изображают в виде графика, называемого эпюрой крутящих моментов.

Для определения внутренних силовых факторов при кручении вал рассекают плоскостью, перпендикулярной продольной оси вала, мысленно отбрасывают одну его часть, а действие отброшенной части на оставшуюся заменяют неизвестным моментом М_к (рис. 30, б). Рассматривая условие равновесия оставшейся части, определяют значение М_к и строят эпюру.

2. Выполняют расчет вала по условию прочности на кручение. Прочность вала при кручении считается обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых:

τ_max ≤ [τ],

где τ_max — максимальное касательное напряжение, определяемое по формуле (4.64);

[τ] — допускаемое напряжение.

Рис. 1

Для скручиваемых валов можно выполнять три вида задач.

1) Проверочный расчёт (проверка прочности). При проверочном расчете находят значение τ_max и сравнивают его с допускаемым напряжением:

2) Проектный расчёт (подбор размеров сечения из условия прочности). При проектном расчете определяют требуемые размеры сечения вала при известных значениях М_к (из эпюры М_к ) и допускаемого напряжения:

3) Определение допускаемой внешней нагрузки, исходя из условия прочности. Допускаемый крутящий момент при известных [τ], форме и размерах сечения вала определяют из выражения

[М_к] = [τ]W_p .

3. Выполняют расчет вала по условию жесткости. Кроме соблюдения условия прочности при расчёте валов на кручение необходимо, чтобы вал удовлетворял условию жесткости. За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания вала Θ.

Условие жесткости бруса при кручении состоит в том, чтобы максимальный относительный угол закручивания не превышал некоторого заданного допускаемого относительного угла закручивания [Θ]:

Допускаемый угол закручивания зависит от назначения вала и принимается в пределах 0,25...1,0 град/м.

По условию жёсткости можно также как и по условию прочности выполнять три вида расчётов.

1) Проверочный расчёт (проверка жёсткости). При проверочном расчете находят значение Θ_max и сравнивают его с допускаемым значением относительного угла закручивания:

2) Проектный расчёт (подбор размеров сечения из условия жёсткости). При проектном расчете определяют требуемые размеры сечения вала при известных значениях М_к (из эпюры М_к ) и допускаемого относительного угла закручивания:

3) Определение допускаемой внешней нагрузки, исходя из условия жёсткости. Допускаемый крутящий момент при известных [Θ], форме и размерах сечения вала определяют из выражения

[М_к] = GJ_p[Θ].

Пример 14. Построить эпюру крутящих моментов для вала, изображенного на рис. 2, а, если вращающие моменты Т₁ = 300 Н·м, Т₂ = 700 Н·м, Т₃ = 400 Н·м. Выполнить проектный расчет вала по условию прочности и условию жесткости. Подобрать сечение вала в форме сплошного круга. Допускаемое касательное напряжение на кручение [τ] = 160 МПа, допускаемый приведенный угол закручивания [Θ] = 0,68 град/м. Полученное значение диаметра вала округлить до большего значения, делящегося на пять.

Решение.

Рис. 2

1. Делим вал на участки, границами которых являются опоры, концы вала и плоскости действия внешних скручивающих моментов. Трением в подшипниках и весом самого вала пренебрегаем.

2. Определим внутренние крутящие моменты на всех участках вала, рассматривая каждый раз условия равновесия отсеченной левой части вала. Внутренний крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде в торец оставленной части внешние скручивающие моменты будут поворачивать её по ходу часовой стрелки (правило условное).

В сечении I—I (рис. 31, б) М_к1 = 0;

в сечении II—II (рис. 31, в) М_к2 = Т₁ = 300 Н·м;

в сечении III—III (рис. 31, г) М_к3 = Т₁ – Т₂ = 300 – 700 = –400 Н·м;

в сечении IV—IV (рис. 31, д) М_к4 = Т₁ – Т₂ + Т₃ = 300 – 700 + 400 = 0.

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 31, е). Положительные значения откладываем вверх от нулевой линии (параллельной оси бруса), отрицательные ординаты — вниз.

3. Выполняем проектный расчет вала по условию прочности, для чего определяем полярный момент сопротивления сечения:

мм³.