Урок 15.05.20. Корреляционно-регрессивный анализ.

Урок 15.05.20. Корреляционно-регрессивный анализ.

Задание1. Изучить теоретический материал.

Существующие между явлениями формы и виды связей весьма разнообразны по своей классификации. Предметом статистики являются только такие из них, которые имеют количественный характер и изучаются с помощью количественных методов. Рассмотрим метод корреляционно-регрессионного анализа, который является основным в изучении взаимосвязей явлений.

Данный метод содержит две свои составляющие части — корреляционный анализ и регрессионный анализ. Корреляционный анализ — это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами. Регрессионный анализ — это количественный метод определения вида математической функции в причинно-следственной зависимости между переменными величинами.

Для оценки силы связи в теории корреляции применяется шкала английского статистика Чеддока: слабая — от 0,1 до 0,3; умеренная — от 0,3 до 0,5; заметная — от 0,5 до 0,7; высокая — от 0,7 до 0,9; весьма высокая (сильная) — от 0,9 до 1,0.

Линейная корреляция

Данная корреляция характеризует линейную взаимосвязь в вариациях переменных. Она может быть парной (две коррелирующие переменные) или множественной (более двух переменных), прямой или обратной — положительной или отрицательной, когда переменные варьируют соответственно в одинаковых или разных направлениях.

Если переменные — количественные и равноценные в своих независимых наблюдениях при их общем количестве , то важнейшими эмпирическими мерами тесноты их линейной взаимосвязи являются коэффициент прямой корреляции знаков австрийского психолога Г.Т.Фехнера (1801-1887) и коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) корреляции английского статистика-биометрика К.Пирсона (1857-1936).

Коэффициент парной корреляции знаков Фехнераопределяет согласованность направлений в индивидуальных отклонениях переменных и от своих средних и . Он равен отношению разности сумм совпадающих ( ) и несовпадающих ( ) пар знаков в отклонениях и к сумме этих сумм:

Величина Кф изменяется от -1 до +1. Суммирование в (1) производится по наблюдениям , которые не указаны в суммах ради упрощения. Если какое-то одно отклонение или , то оно не входит в расчет. Если же сразу оба отклонения нулевые: , то такой случай считается совпадающим по знакам и входит в состав С

Коэффициенты парной, чистой (частной) и множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона, в отличие от коэффициента Фехнера, учитывают не только знаки, но и величины отклонений переменных. Для их расчета используют разные методы. Так, согласно методу прямого счета по несгруппированным данным, коэффициент парной корреляции Пирсона имеет вид:

Этот коэффициент также изменяется от -1 до +1. При наличии нескольких переменных рассчитывается коэффициент множественной (совокупной) линейной корреляции Пирсона. Для трех переменных x, y, z он имеет вид

Этот коэффициент изменяется от 0 до 1. Если элиминировать (совсем исключить или зафиксировать на постоянном уровне) влияние на и , то их "общая" связь превратится в "чистую", образуя чистый (частный) коэффициент линейной корреляции Пирсона:

Этот коэффициент изменяется от -1 до +1. Квадраты коэффициентов корреляции (2)-(4) называются коэффициентами (индексами) детерминации — соответственно парной, чистой (частной), множественной (совокупной):

Каждый из коэффициентов детерминации изменяется от 0 до 1 и оценивает степень вариационной определенности в линейной взаимосвязи переменных, показывая долю вариации одной переменной (y), обусловленную вариацией другой (других) — x и y. Многомерный случай наличия более трех переменных здесь не рассматривается.

Согласно разработкам английского статистика Р.Э. Фишера (1890-1962), статистическая значимость парного и чистого (частного) коэффициентов корреляции Пирсона проверяется в случае нормальности их распределения, на основании -распределения английского статистика В.С. Госсета (псевдоним "Стьюдент"; 1876-1937) с заданным уровнем вероятностной значимости и имеющейся степени свободы , где — число связей (факторных переменных). Для парного коэффициента имеем его среднеквадратическую ошибку и фактическое значение -критерия Стьюдента:

Для чистого коэффициента корреляции при расчете его вместо (n-2) надо брать , т.к. в этом случае имеется m=2 (две факторные переменные x и z). При большом числе n>100 вместо (n-2) или (n-3) в (6) можно брать n, пренебрегая точностью расчета.

Если t_r > t_табл. , то коэффициент парной корреляции — общий или чистый является статистически значимым, а при t_r ≤ t_табл. — незначимым.

Значимость коэффициента множественной корреляции R проверяется по F — критерию Фишера путем расчета его фактического значения

При F_R> F_табл. коэффициент R считается значимым с заданным уровнем значимости a и имеющихся степенях свободы и , а при F_r≤ F_табл — незначимым.

В совокупностях большого объема n > 100 для оценки значимости всех коэффициентов Пирсона вместо критериев t и F применяется непосредственно нормальный закон распределения (табулированная функция Лапласа-Шеппарда).

Наконец, если коэффициенты Пирсона не подчиняются нормальному закону, то в качестве критерия их значимости используется Z — критерий Фишера.

Задание 2. Составить краткий конспект, письменно ответив на следующие вопросы по теоретическому материалу:

1.Какой метод является основным в изучении взаимосвязи явлений?

2.Какие две составляющие содержит метод корреляционно-регрессивного анализа? Описать их.

3.Отразить сущность линейной корреляции.

4. Что представляет собой Коэффициент парной корреляции знаков Фехнера?

5. Что представляет собой коэффициент линейной корреляции Пирсона?

Ответы прислать до 18 мая 2020 года. Жду также все недоделанные задания! Зачет выставляется по вашей работе по текущим оценкам!!!