Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников можно сформулировать следующие признаки равенства треугольников:

Первый признак равенства (по двум катетам)

1 признак (по двум катетам). Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (рис. 1)

Второй признак равенства (по катету и гипотенузе)

2 признак (по катету и гипотенузе). Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Третий признак равенства (по гипотенузе и острому углу)

3 признак (по гипотенузе и острому углу). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 3).

Четвертый признак равенства (по катету и острому углу)

4 признак (по катету и острому углу).Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 4).

ПРИМЕР 1

Задание

В трапеции ABCD опустили высоты BK и CN на основание AD, при этом AK=NB. Доказать что трапеция ABCD – равнобокая.

Доказательство

В трапеции ABCD рассмотрим прямоугольные треугольники AKB и CND. Стороны BK и CN равны между собой (как расстояния между параллельными прямыми), а AK=NB по условию задачи. Получаем, что катеты треугольника AKB равны катетам треугольника CND , а значит, эти треугольники равны (по первому признаку). Следовательно, AB=CD т.е. трапеция ABCD – равнобокая. Доказано.

ПРИМЕР 2

Задание

Доказать, что если в треугольнике две высоты равны, то этот треугольник является равнобедренным.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоты AL и CK. По условию задачи они равны между собой. В прямоугольных треугольниках ALB и CKB угол B – общий и катеты AL=CK. Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу), треугольники ALB и CKB равны, а значит AB=BC . Доказано.

Задание

Дано: АВС, А₁В₁С₁, DAB= CBA=90⁰, АD = BD

Доказать: CAB= DBA.