Прямоугольная система координат в пространстве.

Прямоугольная система координат в пространстве.

План

1. Прямоугольная система координат в пространстве.

2. Расстояние между точками

3. Координаты середины отрезка

Вопрос 1. Прямоугольная система координат в пространстве.

Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.

Пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат:

Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.

Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны.

Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.

Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем точку D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.

Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.

Вопрос 2. Расстояние между точками

Выразим расстояние между двумя точками и через координаты этих точек.

Рассмотрим сначала случай, когда прямая не параллельна оси z.

Проведём через точки и прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость в точках и . Эти точки имеют те же координаты x, y, что и точки и , а координата z у них равна нулю. Проведём теперь плоскость через точку , параллельную оси xy. Она пересечёт прямую в некоторой точке C. По теореме Пифагора . Отрезки и равны, а . Длина отрезка равна . Поэтому . Если отрезок не параллелен оси z, то . Тот же результат даёт полученная формула, так как в этом случае .

Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле

Вопрос 3.Координаты середины отрезка

Середина отрезка - это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах о поиске медианы или средней линии.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

То есть координаты середины отрезка с концами и вычисляются по формулам: