Вписанные углы»

Практикум по решению геометрических задач

«Вписанные углы»

Вписанный угол – угол с вершиной на окружности. Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.

Ключевая задача 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Следствие 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Для подготовки к базовой части экзамена, достаточно разобрать задачи, представленные на готовых чертежах (таблица 1). Для того чтобы разобрать материал на более высоком уровне, можно решить следующие задачи.

Задачи для практикума:

1. Высота, опущенная из вершины вписанного в окружность треугольника , продолжена до пересечения с окружностью в точке . Эта точка соединена с точкой , диаметрально противоположной вершине . Докажите, что .

2. Две окружности пересекаются в точках . Через точку проведены диаметры и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.

3. Две окружности пересекаются в точках и . Через и проведены прямые и соответственно, пересекающие первую окружность в точках и , а вторую – в точках и . Доказать, что .

4. В окружности проведены диаметр и хорда . На диаметре выбрана точка и проведена окружность с центром , касающаяся хорды в точке и исходной окружности в точке . Докажите, что – биссектриса угла .

5. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника лежат по разные стороны от прямой . Длина стороны равна радиусу описанной окружности. Чему равен угол , где – центр вписанной окружности?

6. Продолжение медианы треугольника , проведенной из вершины , пересекает описанную около треугольника окружность в точке . Найти длину отрезка , если длина каждой из хорд и равна 1.

7. В остроугольном треугольнике проведена высота , которая повторно пересекает окружность, описанную около треугольника , в точке . – диаметр окружности. а) Докажите, что . б) Найдите длину отрезка , если известно, что радиус данной окружности равен 12, ⦟ , ⦟ .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Биссектриса угла треугольника пересекает описанную окружность в точке . Докажите, что треугольник равнобедренный.

2. Доказать, что сторона треугольника, лежащая против угла в , равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

3. Окружность, построенная на стороне параллелограмма, как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найти углы параллелограмма.

4. На стороне квадрата выбрана точка так, что . Через точки и проведена прямая, пересекающая окружность, описанную около квадрата, в точке . Найдите величину угла .

5. Точка – центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке . а) Докажите, что . б) Найдите радиус описанной около треугольника окружности, если расстояние от точки до прямой равно 24, ⦟ .

Источники:

1. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. «Учимся решать задачи по геометрии», Киев: Магистр-S, 1996.

2. Варианты ЕГЭ 2019 года