Получать готовую информацию и запоминать ее может компьютер, а человек должен думать».

Тема урока: Метод интервалов.

Цели урока:выработать умение решать неравенства с одной переменной методом интервалов.

– Здравствуйте, ребята! Сегодня вы сделаете очередной шаг навстречу большой цели – хорошо сдать промежуточную аттестацию. Я с радостью помогу вам сделать этот шаг. Однажды я прочла высказывание

«Получать готовую информацию и запоминать ее может компьютер, а человек должен думать».

- Давайте ответим на вопросы к нашей теме урока:

· Что? ( такое метод интервалов)

· Как? (решают рациональные неравенства методом интервалов)

· Для чего? (необходим данный метод)

- Попробуйте сформулировать цели нашего урока.

( Научиться решать рациональные неравенства методом интервалов)

А теперь давайте познакомимся со способом решения рациональных

неравенств

Рассмотрим пример и запишем алгоритм решения в тетрадь.

Решим неравенство

Рассмотрим функцию F(x) =

1. Найдем область определения функции:

Вся числовая прямая, кроме нулей знаменателя:

2. Найдём нули функции:

3. Отметим на числовой прямой найденные точки:

4. Определим знаки функции в каждом интервале:

Неравенство нестрогое, поэтому числа -1 и 1 (нули функции f) являются решениями неравенства.

5. Запишем ответ в виде объединения промежутков:

Ответ:

Алгоритм решения неравенств с одной переменной с помощью интервалов:

1. Выделить функцию f(x).

2. Найти область определения функции f(x).

3. Найти нули функции f(x), решив уравнение f(x)=0.

4. Отметить на оси х интервалы, на которые область определения разбивается нулями функции, в каждом из которых функция непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.

5. Определить знак функции f(x) на каждом интервале,

если неравенство нестрогое, то нули функции являются его решением.

6. Записать ответ. ЕСЛИ НЕРАВЕНСТВО НЕСТРОГОЕ, ТО ПРОВЕРИТЬ, ВСЕ ЛИ НУЛИ ВЫШЛИ В ОТВЕТ?!

Свойством непрерывности пользуются при решении неравенств с одной переменной методом интервалов.

Пользуясь этим алгоритмом решим неравенства в тетради.

I Решить неравенство: (х+1)(х-2)(х+4)<0.

1. Обозначим: f(x)= (х+1)(х-2)(х+4),

2. D(f)=R,

3. Нули функции: (х+1)(х-2)(х+4)=0 х₁= - 1, х₂= 2, х₃ = - 4.

4. Нули функции разобьют всю область определения на 4 интервала в каждом из которых функция f(x) непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.

5. Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

а) (-∞; -4), f(-5) = (-4) (-7) (-1) < 0, б) (-4; -1), f(-2) = (-1) (-4) (2) > 0,

в) (-1; 2), f(0) = (1) (-2) (4) < 0, г) (2; ∞), f(4) = (5) (2) (8) > 0,

Из рисунка видно, что f(x) < 0, если х (-∞; -4) (-1; 2) .

Ответ: (-∞; -4) (-1; 2) .

II Решить неравенство: >0

1. Обозначим f(x)=

2. D(f)=(- ∞;1,5) (1,5; +∞)

точка х=1,5 разбивает всю область определения функции f(x) на интервалы в которых функция непрерывна, а значит, свойства непрерывности сохраняются.

3. Нули функции f(x)=0, если (х-3)(х+2)=0

х₁= -2; х₂= 3.

5. Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

а) (-∞; -2), f(-3) = < 0, б) (-2; 1,5), f(0) = > 0,

в) (1,5; 3), f(2) = < 0, г) (3; ∞), f(4) = > 0.

Из рисунка видно, что f(x) > 0, если х (-2; 1,5) (3; +∞) .

Ответ: (-2; 1,5) (3; +∞).

III Найти область определения функции:

D(y): х-х³≥ 0

х-х³≥ 0, х³-х ≤ 0,

х (х²-1) ≤ 0,

х (х-1)(х+1) ≤ 0.

1. Обозначим f(x)= х (х-1)(х+1),

2. D(f)=R,

3. Нули функции f(x). х (х-1)(х+1) =0 х₁= -1; х₂= 0, х₃= 1.

5. Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

а) (-∞; -1), f(-2) = (-2) (-3) (-1) < 0, б) (-1; 0), f(- ) = (- ) (- 1 ) ( ) > 0,

в) (0; 1), f( ) = ( ) (- ) ( ) < 0, г) (1; ∞), f(2) = (2) (1) (3) > 0,

неравенство нестрогое, поэтому х= -1, х= 0, х= 1 входят в решение этого неравенства

Из рисунка видно, что f(x) ≤ 0, если х (-∞;- 1] [0;1].

Ответ: D(y)= (-∞;- 1] [0;1].

IV Решить неравенство.

Найти его наименьшее целое решение. >2 t wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr></m:ctrlPr></m:boxPr><m:e><m:groupChr><m:groupChrPr><m:chr m:val="в‡”"/><m:pos m:val="top"/><m:ctrlPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr></m:ctrlPr></m:groupChrPr><m:e/></m:groupChr></m:e></m:box></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr></m:ctrlPr></m:boxPr><m:e><m:groupChr><m:groupChrPr><m:chr m:val="в‡”"/><m:pos m:val="top"/><m:ctrlPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr></m:ctrlPr></m:groupChrPr><m:e/></m:groupChr></m:e></m:box></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> – 2 > 0 > 0 > 0 < 0.

Решим неравенство: < 0.

1. Обозначим f(x)= .

2. D(f)= (-∞; 3) +∞).

3. Нули функции f(x).

= 0, если х-8 = 0; х=8.

4. х=8 разобьёт всю область определения функции на 3 промежутка в каждом из которых функция f(x) непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.

5. Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

а) (-∞ ; 3), f(0) = > 0, б) (3 ; 8), f(4) = < 0,

в) (8; + ∞), f(9) = > 0,

Из рисунка видно, что f(x) < 0, если х (3; 8)

Ответ: (3; 8); х=4 – наименьшее целое его решение.

Самостоятельная работа.

Решить неравенства:

I вариант II вариант

1. (х-1)(х-3) < 0, 2. (х+3)(х-8)(х-20) ≥ 0, 3. < 0, 4. ≤ 0, 5. < 0. 1. (х-2)(х-5) > 0, 2. (х+5(х-6)(х-17) ≤ 0, 3. > 0, 4. ≤ 0, 5.