Контакты

Случайная статья

Формула Остроградского-Лиувилля для ЛОДУ n-го порядка и ее следствия.

Формула Остроградского-Лиувилля для ЛОДУ n-го порядка и ее следствия.

Теорема (формула Остроградского-Лиувилля).

Пусть – частные решения ЛОДУ n-го порядка на . – определитель Вронского системы решений . Тогда

.

Док-во: (для случая )

ЛОДУ 2-го порядка:

– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.

Пусть – частные решения, тогда

Т.к. и – решения, то

,

,

,

Проинтегрируем от до :

Следствие 1. Если , что , то

Следствие 2 (Для ЛОДУ 2-го порядка).

Пусть – частное решение ЛОДУ 2-го порядка. Тогда функция

- частное решение ЛОДУ 2-го порядка причем образуют ФСР.

Док-во: по формуле Остроградского-Лиувилля

Считая известным, найдем такое, что

,

, значит .

Т.к. , то линейно независимы и образуют ФСР.

Пример.

.

– частное решение, найти

Тогда

– произвольные постоянные.

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.