Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта

Его цель добиться ещё бОльшего приближения «красных квадратиков» к «зелёным точкам». Вы спросите, куда ещё ближе? Во многих, в частности физических, исследованиях бывает ПРИНЦИПИАЛЬНО важен 10-й, а то и 50-й точный знак после запятой. Нет, такой точности можно достичь и простым методом Эйлера, но на СКОЛЬКО частей придётся разбить промежуток ?! …Хотя с современными вычислительными мощностями это не проблема – тысячи кочегаров китайского космического корабля гарантируют!

И, как правильно подсказывает заголовок, при использовании метода Рунге-Кутты на каждом шаге нам придётся вычислить значение функции 4 раза (в отличие от двукратного вычисления в предыдущем параграфе). Но задача эта вполне и вполне подъёмная ~~если нанять китайцев~~. Каждое следующее «игрековое» значение получается из предыдущего – ловим формулы:
, где , где:

Готовы? Ну тогда начинаем:))

Таким образом:

Первая строка запрограммирована, и я копирую формулы по образцу:

Не думал, что так быстро разделаюсь с методом Рунге-Кутты =)

В чертеже нет смысла, поскольку он уже не показателен. Давайте лучше проведём аналитическое сравнение точности трёх методов, ибо когда известно точное решение , то грех не сравнить. Значения функции в узловых точках элементарно рассчитываются в том же Экселе – один раз забиваем формулу и тиражируем её на остальные .

В нижеследующую таблицу я сведу значения (для каждого из трёх методов) и соответствующие абсолютные погрешности приближённых вычислений:

Как видите, метод Рунге-Кутты даёт уже 4-5 верных знака после запятой по сравнению с 2 верными знаками усовершенствованного метода Эйлера! И это не случайность:

– Погрешность «обычного» метода Эйлера не превосходит шага разбиения. И в самом деле – взгляните на самый левый столбец погрешностей – там после запятых только один ноль, что и говорит нам о точности 0,1.

– Усовершенствованный метод Эйлера гарантирует точность: (смотрим на 2 нуля после запятой в средней колонке погрешностей).

– И, наконец, классический метод Рунге-Кутты обеспечивает точность .

Изложенные оценки погрешностей строго обосновывается в теории.

Как можно ЕЩЁ улучшить точность приближения? Ответ прямо-таки философский: качеством и/или количеством =) В частности, существует и другие, более точные модификации метода Рунге-Кутты. Количественный путь, как уже отмечалось, состоит в уменьшении шага, т.е. в разбиении отрезка на бОльшее количество промежуточных отрезков. И с увеличением этого количества ломаная всё больше и больше будет походить на график точного решения и в пределе – совпадёт с ним.

В математике это свойство называется спрямляемостью кривой.

Безусловным достоинством рассмотренных методов, является тот факт, что они применимы к уравнениям с очень сложной правой частью. И безусловный недостаток – далеко не каждый диффур можно представить в таком виде.