Практическая работа № 34.. Теория

Практическая работа № 34.

Тема: Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин.

Цель: Применение знаний при решении задач.

Теория

На практике часто приходится решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.

Наибольшее f(b), наименьшее f(x₂)

x_1,x₂ – стационарные точки

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a; b] нужно:

1) найти значение функции на концах отрезка, т.е . f(a) и f( b) ;

2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b)

3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание: Если на (a, b) нет стационарных точек, то наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка [a; b].

Пример:

на [-2; 1]

2) при и

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на интервале ( a ; b ) , нужно:

Если функция дифференцируема на интервале ( a ; b ) и имеет только одну стационарную точку х₀: это либо точку максимума, либо точку минимума, тогда

если х₀ - точка максимума, то функция в этой точке принимает наибольшее значение;

если х₀ - точка минимума, то функция в этой точке принимает наименьшее значение;

Задача

Число 36 записать в виде произведения 2-х положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Решение

Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен .

Сумма этих чисел равна . По условию задачи х – положительное число. Таким образом задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция принимает наименьшее значение на интервале х > 0.

Найдём производную :

Стационарные точки: х₁= 6 и х₂= - 6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х= 6.

При переходе через точку х = 6 производная меняет знак с « - » на « + » , и поэтому точка х = 6 – точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция принимает в точке х = 6 . это значение

Ответ: 36 = 6 · 6

Пример

1) на [-4; 3]

- Î (-4; 3)

Ответ: