Комбинированное занятие № 53. Формируемые на уроке ПК и ОК. План занятия.. Ход занятия.. Актуализация темы.. Вторая производная.

Урок №122

Комбинированное занятие № 53

Тема: Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.

Цель:

Учебная:

- познакомить обучающихся со второй производной и её геометрическим и физическим смыслом;

Развивающая:

- формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательная:

- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Методы обучения: практическая работа, контрольная работа.

Оборудование: компьютер, проектор.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формируемые на уроке ПК и ОК

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

План занятия.

1. Организационный момент.

2. Актуализация темы.

3. Производные высших порядков. Вторая производная.

4. Геометрический и физический смысл второй производной.

5. Решение упражнений.

6. Домашнее задание.

7. Итоги занятия.

Ход занятия.

1. Организационный момент –приветствие, проверка посещаемости.

2. Актуализация темы.

Обучающиеся вспоминают, что такое предел функции.

3. Вторая производная.

Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в каждой точке интервала I. Тогда f '(x) есть функция, также определенная на интервале I. Если функция f '(x) имеет производную в каждой точке интервала I, то ее называют второй производной функции f(x) и обозначают так: f "(x). Тогда f "(x) также есть функция, определенная на интервале I. Аналогично определяются производные высших порядков f⁽ⁿ⁾(x) функции f(x).

Отметим, что f '(x) – производную функции f(x) – называют иногда первой производной функции f(x).

ПРИМЕР 1. Найдем вторую производную функции

f(x) = х⁴ + х³ + х² + х + 1.

Так как функция f(x) определена и имеет производную в каждой точке интервала (- ; + ), то функция

f ' (x) = (х⁴ + х³ + х² + х + 1)' = 4х³ + 3х² + 2х + 1

также определена в каждой точке интервала (- ; + ). Она имеет в каждой точке этого интервала производную

f "(x) = (4х³ + 3х² + 2х + 1)' = 12х² + 6х + 2.

ПРИМЕР 2* Найдем четвертую производную функции

f(x) = sinх.

В каждой точке интервала (- ; + ) имеем

f '(x) = (sinx)' = cosx, f "(x) = (cosx)' = -sinx,

f⁽³⁾(x) = (-sinx)' = -cosx, f⁽⁴⁾(x) = (-cosx)' = sinx.

Отметим, что в механике движение называют равномерным, если его скорость постоянна, и движение называют равноускоренным, если его ускорение постоянно.

Пусть точка движется по прямой по закону

s = f(t). (1)

Первая производная функции (1) есть скорость точки:

s'= f '(t)

Вторая же производная функции (1) есть скорость изменения скорости,
т. е. ускорение точки:

s"=f "(t).

Таким образом, если точка движется по закону (1), то механический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная определяет ускорение этой точки.

Если точка движется по прямой по линейному закону

s = at + b ,

где а и b — данные числа и а ≠ 0, то это движение равномерное, потому что его скорость s' = а постоянна.

Если точка движется по прямой по квадратичному закону

s = at² + bt + с,

где а, b и с — данные числа и а ≠ 0, то это движение равноускоренное, так как его скорость s' = 2at + b зависит от времени, а ускорение
s"= 2а постоянно.

Подчеркнем, что если точка движется по прямой по закону s = f(t), то s' и s" есть функции времени. Только в случае если точка движется по прямой по линейному закону, s' есть постоянная, т. е. движение равномерное, и только если точка движется по прямой по квадратичному закону, s" есть постоянная, не равная нулю, т. е. движение равноускоренное.

Домашнее задание

Учебник Башмакова, стр. 180-183,

Учебник Никольского, 11 класс, §4.5, №4.39.

Итог урока

Обучающиеся отвечают на вопросы, что они сегодня изучили, что было понятно, а что нет.