Формулы геометрической прогрессии

Арифметическая прогрессия

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , n – 1, n , … .
Если заменить каждое число n в этом ряду некоторым числом u_n , следуя некоторому закону,
мы получим новый ряд чисел: u₁, u₂, u₃,…, u _{n -}₁, u _n , … ,
называемый числовой последовательностью.
Число u_n называется общим членом числовой последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, 10, … , 2n, … ;

1, 4, 9, 16, 25, … , n , … ;

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … , 1/n ,… .

Последовательность, у которой задан первый член a₁, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
a_n+1 = a_n + d, где d - разность прогрессии.

Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.
Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Формулы арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d(n - 1) - формула n-го члена арифметической прогрессии;
2a_n = a_n-1 + a_n+1 - характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных чисел;
a_n = a_k + d(n - k) - формула нахождения n-го члена арифметической прогрессии через k -ый член прогрессии;
a_n + a_m = a_k + a_l, - характеристическое свойство арифметической прогрессии для четырех произвольных чисел, если n + m = k + l.

Сумма n членов арифметической прогрессии:

Sn=a1+an2⋅nSn=a1+an2⋅n
Sn=2a1+d(n−1)2⋅n

Геометрическая прогрессия

Ключевые слова: прогрессия, геометрическая, знаменатель прогрессии.

Последовательность (bn)(bn), у которой задан первый член b1≠0b1≠0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q≠0q≠0, называется геометрической прогрессией: bn+1=bn⋅qbn+1=bn⋅q , где q - знаменатель прогрессии

Если |q| > 1, то прогрессия называется возрастающей. Если |q| < 1, то прогрессия называется убывающей.
Геометрическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов

Формулы геометрической прогрессии

bn=b1⋅qn−1bn=b1⋅qn−1 - формула n-го члена геометрической прогрессии.
bn=bk⋅qn−kbn=bk⋅qn−k - формула n-го члена геометрической прогрессии через k-й член прогрессии.
b2n=bn−1⋅bn+1bn2=bn−1⋅bn+1 - характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных чисел.
bn⋅bm=bk⋅blbn⋅bm=bk⋅bl - характеристическое свойство геометрической прогрессии для четырех чисел, если n + m = k + l

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии

Sn=bn⋅q−b1q−1Sn=bn⋅q−b1q−1
Sn=b1(qn−1)q−1Sn=b1(qn−1)q−1

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

S=b11−q,|q|<1