Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения

Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения"

Напомним, что уравнением называется равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.

Уравнение с одной переменной имеет вид:

где , – некоторые функции переменной .

Корнем (решением) уравнения с одной переменной называется число , при подстановке которого вместо в обе части уравнения получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его кони или доказать, что корней нет.

Множество значений переменной , при которых определены функции и , называется областью определения уравнения или областью допустимых значений переменной (ОДЗ).

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Теоремы о равносильности уравнений:

1. .

2. для любого числа .

3. для любого числа .

4. , если имеет смысл в области определения уравнения.

5. , если определена
и не обращается в нуль в области определения уравнения.

6. .

7. .

Напомним, что уравнение вида , где и , называется линейным. Число корней уравнения зависит от значений и .

Линейное уравнение при имеет единственное решение ;

при , – не имеет решений;

при , – принимает вид и имеет бесконечное множество решений.

Давайте решим следующее уравнение .

Решение.

А теперь давайте поговорим о квадратных уравнениях. Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:

где – переменная, , , , причём .

Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле: .

Если , то уравнение имеет два различных действительных корня:

Если , то уравнение имеет два равных действительных корня:

Если , то уравнение не имеет корней.

Уравнение вида , где , называется приведённым квадратным уравнением.

Уравнения вида , , называются неполными квадратными уравнениями.

Неполные квадратные уравнения обычно решаются без применения общей формулы.

В уравнении ( , ) левая часть раскладывается на множители:

, откуда , .

Уравнение ( ) не имеет корней, если знаки и совпадают;

имеют два корня: , , если знаки и различны.

Уравнение имеет два равных корня: .

Важное значение при решении и исследовании квадратных уравнений имеет теорема Виета. Вспомним её.

Итак, теорема Виета (прямая):

если квадратное уравнение имеет корни,

то .

Для корней приведённого квадратного уравнения формулы Виета имеют следующий вид:

Теорема Виета (обратная):

если сумма каких-нибудь чисел и равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то трёхчлен можно представить в виде , где , – корни уравнения .

Если дискриминант квадратного трёхчлена э равен нулю, то трёхчлен можно представить в виде , где – корень уравнения .

Решим следующее уравнение .

Решение.

Перейдём к рациональным уравнениям. Напомним, что функция вида

где , , , , …, , – некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Целым рациональным уравнением называется уравнение вида , где – целая рациональная функция.

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида , где и – многочлены.

При решении рациональных уравнений используются метод разложения на множители и метод замены.

Решим следующее уравнение .

Решение.

Также напомним, что иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2. Замена переменной.

3. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.

4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.

Решим следующее уравнение .

Решение.