Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов.

План

1. Скалярное произведение векторов.

2. Угол между векторами

3. Примеры

Вопрос 1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Два вектора и называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. В этом случае косинус равен нулю, и соответственно . Таким образом скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Таким образом скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов и выражается формулой:

Основные свойства скалярного произведения векторов:

3. Переместительный закон

4. Сочетательный закон

5. Распределительный закон

Вопрос 2. Угол между векторами

Из определений скалярного произведения векторов легко вывести формулу для косинуса угла между двумя векторами:

Если необходимо найти угол между двумя прямыми, а не векторами, то следует действовать следующим образом.

Пусть даны две прямые a и b, и их направляющие вектора и , заданные координатами. Найдем угол β между прямыми.

Возможны два случая:

1) Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми.	2) Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен – (180-φ).

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Если нам известен направляющий вектор прямой a и вектор , перпендикулярный плоскости α (вектор - это вектор нормали), то мы можем выразить угол между прямой и плоскостью через угол между данной прямой и прямой, перпендикулярной плоскости α:

Вопрос 3. Примеры

Рассмотрим задачу на нахождение скалярного произведения векторов.

Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, O₁ – центр A₁B₁C₁D₁ , AB=a.

Найти скалярные произведения векторов:

а) . Находим эти вектора на рисунке, они сонаправлены, значит угол между ними 0°, а эти вектора равны a. Получаем:

б) . Эти вектора параллельны и противоположно направлены, значит, угол между ними 180°. Модуль вектора - это диагональ квадрата, , . Получаем: .

в) . Так как эти вектора перпендикулярны (по рисунку), то косинус угла между ними равен 0. Значит, .

г) . Модули этих векторов равны - это диагонали квадратов. Чтобы найти угол между нужными векторами, рассмотрим треугольник A₁C₁B. Этот треугольник равносторонний, значит, угол равен 60°.

· = - 2a²

д) . Эти вектора перпендикулярны, значит, .

е) . Длины этих векторов равны , так как они являются половинами диагоналей. Эти векторы противоположно направлены, угол между ними 180°.

Получаем: .

Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми и угла между прямой и плоскостью.

Задача 2. Дано: правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, .

Найдите:

а) угол между прямыми АС₁ и A₁B;

б) угол между прямой АС₁ и плоскостью АВС.

Решение: Пусть AB=a, тогда AA₁=a√2. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке С, и определим координаты точек A, B, C₁ и A₁: , , , .

Зная координаты конца и начала векторов, находим координаты векторов: , .

б) Так как призма правильная, следовательно . Чтобы найти угол между плоскостью и прямой необходимо знать вектор и вектор, перпендикулярный плоскости ABC – вектор нормали , . Находим угол между прямой и плоскостью:

С помощью скалярного произведения можно также найти угол между двумя плоскостями. Рассмотрим две плоскости α и β с нормальными векторами и . Угол φ между плоскостями α и β можно выразить через угол .

Возможны два случая:

1) Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ;

2) Если ψ > 90°, то φ = 180°-ψ .

Значит, угол φ можно найти по формуле: .