ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Урок Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Цели: Рассмотреть метод замены переменной в неопределенном интеграл, сформировать методы решения неопределенного интеграла путем замены переменной.

Дифференциал- это

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель .

Например:

Замена переменной

Рассмотрим на примере:

Найти неопределенный интеграл.

. для решения интеграла подойдет табличная формула ,

хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
Итак:
Но при замене у нас остаётся !

Если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу надозаменить.

Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал .

Так как , то

Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Итак, решение выглядит следующим образом:

Проведем замену:

:

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену:

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

мы выразим из той же замены !

Решить следующие примеры:

Пример 1 Найти неопределенный интеграл.

Пример 2 Найти неопределенный интеграл.

Пример 3 Найти неопределенный интеграл.

Пример 4 Найти неопределенный интеграл.

Пример 5 Найти неопределенный интеграл.