а) Решите уравнение .

1. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,2 м.

2. В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортёрной ленте. При проектировании транспортёра необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортёра. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортёра к горизонту при расчётной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъёма в градусах, на оси ординат — сила натяжения транспортёрной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки изображён четырёхугольник . Найдите его периметр.

4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

5. Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 4. Найдите .

7. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале .

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

8. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.

9. Найдите значение выражения .

10. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где м , — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

11. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

12. Найдите точку минимума функции .

13. а) Решите уравнение .

б) укажите все корни, принадлежащие отрезку .

14.Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁,

M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобокая

трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

15. Решите неравенство .

16.В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны

AC в точке M, причём AM = 2R и CM = 3R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной

окружностей, если известно, что R = 2.

17. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на процентов по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб.;

- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите , если долг выплачен полностью, и общие выплаты составили 6,1 млн. рублей.

18. Найдите все значения параметра a, при которых существует решение уравнения

19.Мальчик говорит своему приятелю: «Я подсчитал, что, для того чтобы пронумеровать все страницы вот этой маленькой книжки, начиная с первой её страницы, потребовалось ровно 100 цифр». Известно, что все страницы в книге пронумерованы, начиная с первой, заканчивая последней страницей.

а) Правильно ли подсчитал мальчик число цифр?

б) Какое количество листов должна содержать книга, если число цифр, потребовавшихся для нумерации страниц, ровно в 1,5 раза больше, чем количество самих страниц?

в) Какое количество листов должна содержать книга, чтобы разница между количеством страниц и цифр, потребовавшихся для нумерации страниц, составляла 100?