Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Геометрия. 14.05.2020.
Тема урока: Задачи на углы треугольника.

Этот урок посвящен теме «Задачи на углы треугольника». В ходе него все смогут повторить информацию о свойствах центральной фигуры геометрии – треугольника, а также теоремы о внешних и внутренних углах треугольника. Затем подробно разберется решение нескольких типовых задач на нахождение углов треугольника.

Свойства углов треугольника

Треугольник – это центральная фигура геометрии. Он обладает многими удивительными свойствами. Два этих свойства, касающихся углов, мы сейчас повторим.

Пусть дан треугольник с внутренними углами , , .

Теорема утверждает, что сумма внутренних углов треугольника равна (см. Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме о внутренних углах треугольника

Это теорема о внутренних углах треугольника.

Следующая теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним (см. Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о внешнем угле треугольника

Из того, что сумма внутренних углов треугольника 180 градусов, вытекает наличие трех видов треугольников.

Виды треугольников

Первый – это остроугольный треугольник .

, ,

Например: (см. Рис. 3).

В сумме углы составляют , каждый из них меньше .

Рис. 3. Остроугольный треугольник

Тупоугольный треугольник (см. Рис. 4)

– угол тупой, т. е. лежит в пределах от 90 градусов до 180 градусов.

Например:

Тупым может быть только один угол.

Рис. 4. Тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (см. Рис. 5)

Например:

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Таким образом, мы рассмотрели все виды треугольников.

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на углы треугольника.

Задача 1

Найдите угол треугольника , если угол равен 60 градусов, угол равен 50 градусов (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Дано:

, , .

Найти: .

Решение

Ответ: .

Здесь мы воспользовались теоремой о внутренних углах треугольника.

Задача 2

Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника – острые (см. Рис. 7).

Дано: , .

Доказать: , .

Доказательство

Рис.7. Иллюстрация к задаче 2

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (по свойству равнобедренного треугольника): .

Пусть , тогда . Это противоречит тому, что .

Что и требовалось доказать.

В предыдущих задачах фигурировали только внутренние углы треугольника. В следующей задаче присутствует внешний угол треугольника.

Задача 3

Найдите углы в треугольнике , если , внешний угол при вершине равен 100 градусам (см. Рис. 8).

Дано: , , .

Найти: , , .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

Данный треугольник равнобедренный по условию.

Вспомним, что внешний угол и внутренний угол – смежные углы и в сумме осоставляют . Один из них дан, значит, можно найти другой, а если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны , а, зная эти два угла, мы можем найти и третий угол.