Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Геометрия. 9-а класс.27.05.2020.
Тема урока: Повторение. Скалярное произведение векторов.

На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и некоторые задачи с его участием.
Вначале вспомним основные сведения про вектор: определение вектора, операции с вектором и угол между векторами. Далее рассмотрим формулу скалярного произведения векторов и рассмотрим важный частный случай перпендикулярных векторов и их скалярное произведение. С помощью формулы скалярного произведения рассмотрим еще два важных частных случая коллинеарных векторов: сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы. Дадим определение скалярного квадрата и свойство скалярного квадрата, о равенстве скалярного квадрата квадрату его длины.

Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.

1. Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение

2. Операции с векторами.

а) Сложение векторов.

Правило параллелограмма.

Правило треугольника.

б) Умножение вектора на число.

3. Угол между векторами.

4. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Заметим, что – это проекция вектора на направление вектора . Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.

Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.

1. Перпендикулярные векторы.

Если , то и .

Сила в направлении не совершает никакой работы, скалярное произведение Обратно: если , то в силу равенства .

Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

2. Коллинеарные векторы.

Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

а) Сонаправленные векторы.

, поэтому Таким образом,

б) Противоположно направленные векторы.

, поэтому

Таким образом,

3. Равные векторы. Рассмотрим случай, когда

Определение: Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается , . Свойство: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, .