Понятие многогранника. Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.. Рис. 1

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Понятие многогранника

Опр. Многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и

ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Примеры. Куб, пирамида, трехгранный угол.

Опр. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его

гранями. (При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.)

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.

Опр. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

Опр. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360⁰.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр (рис. 1) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180⁰.

Рис. 1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 Рис.5

Правильный октаэдр (рис. 2) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240⁰.

Правильный икосаэдр (рис. 3) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300⁰.

Куб (гексаэдр) (рис. 4) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270⁰.

Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324⁰.

Формула Эйлера :

«Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 », т.е. Г + В = Р + 2

⇐ Предыдущая 12