Задача повышенной сложности

Алгебра. 22.05.2020.
Тема урока: Повторение. Комбинаторика.

На этом уроке мы рассмотрим несколько вариантов задач по комбинаторике и научимся их решать.

Задача 1

В команде 11 человек. Сколько есть способов выбрать из этой команды капитана и вице-капитана?

Решение

Выбрать капитана – 11 способов, для каждого из них выбрать вице-капитана – 10 способов.

Значит, всего будет 110 способов.

Эту задачу можно было решить с помощью формулы. Мы выбираем двух людей из одинадцати. Порядок нам в данном случае важен, потому что капитан и вице-капитан не могут быть одним и тем же человеком. Поэтому:

По формуле:

Ответ: 110 способов.

Задача 2

В группе по английскому языку учится 11 человек. Учитель выбирает произвольного ученика по журналу и назначает его старостой группы, после чего снова выбирает произвольного ученика и назначает его стирать с доски. Сколько у учителя способов сделать свой выбор?

Решение

Казалось бы, задача такая же и ответ тот же. Но не совсем так! Ведь староста и стиратель с доски могут быть одним и тем же человеком. В этом случае есть 11 вариантов для выбора старосты и 11 вариантов для человека, который будет стирать с доски.

Ответ: 121 способ.

Задача 3

У мастера есть 4 полоски ткани: красная, синяя, зеленая и белая. Мастер хочет сшить трехполосный флаг (полосы – горизонтальные). Сколько у него есть способов это сделать (предполагается, что красный – синий – белый и белый – синий – красный – разные флаги)?

Решение

В качестве первой полоски – 4 варианта. Для каждого из них выбрать вторую полоску – 3 варианта. Третья полоска – 2 варианта.

Итого 24.

Можно было решить задачу и по формуле: у нас есть 4 варианта, из них надо выбрать три, причем порядок выбора важен. Значит, это число размещений из 4 вариантов по 3 местам:

Ответ: 24 способа.

Задача 4

Сколько существует трехзначных чисел, которые составлены из четных различных цифр?

Решение

Всего четных цифр 5 – 0, 2, 4, 6, 8.

На первое место 4 варианта (кроме 0). На второе – также 4 (подойдет любая цифра, кроме первой). На третье – уже три (все, кроме первой и второй). Итого:

Ответ: 48 чисел.

Задача 5

Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

Решение

Напомним: диагональ – это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим произвольную вершину. Сколько диагоналей можно провести из нее?

Очевидно, 17: во все вершины, кроме самой себя и двух соседних. Всего вершин 20, значит, диагоналей будет . Все? Увы, нет.

Заметим, что каждую диагональ мы посчитали два раза! Если рассмотреть диагональ, то мы ее считаем два раза, когда рассматривали каждую из точек. Значит, надо поделить найденное количество на 2. Итого, ответ:

Эту формулу можно обобщить и для произвольного -угольника: .

Ответ: 170 диагоналей.

Заключение

Сегодня мы с вами узнали, как решаются некоторые комбинаторные задачи, мы повторили, что такое размещение. А кроме того, выяснили, что иногда даже очень похожие внешне задачи имеют разные решение и, соответственно, разные ответы, в зависимости от контекста.

Задача повышенной сложности

У Юли есть 4 любимые картины, а у ее мужа Георгия – 5 красивых постеров. Юля и Георгий хотят оформить стену в гостиной, для этого они хотят повесить вдоль стены 2 картины и 2 постера. Сколько способов у них есть это сделать?

Решение

Во-первых, посчитаем количество способов выбрать 2 картины из 4. Так как пока порядок нам не важен, мы просто выбираем 2 объекта, то это вариантов.

Аналогично, выбираем 2 постера – вариантов.

Итого, 60 вариантов выбрать 4 объекта на стену.

Теперь посчитаем, сколько способов расположить их на стене. C этого момента порядок становится важен. Давайте посчитаем, сколько способов есть повесить картины и постеры в нужном нам порядке. А это будет уже просто перестановка из четырех элементов:

Эти 24 варианта есть для каждого из 60 вариантов выбора объектов на стену.

Итого, имеем:

Ответ: 1440 способов.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал "Я Класс" (Источник)

2. Интернет портал "Математика в школе" (Источник)

3. Интернет портал "Открытый урок" (Источник)